《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

9. 如图,B,P,D三点在同一条直线上,∠ABP= ∠APC= ∠CDP= 100°,∠A= 50°,则∠C的度数为______.

答案： 在△ABP中，∠ABP=100°，∠A=50°，根据三角形内角和定理，∠APB=180°-∠A-∠ABP=180°-50°-100°=30°。
∵B，P，D三点共线，
∴∠BPD=180°（平角定义）。
∵∠APB=30°，∠APC=100°，且∠APB+∠APC+∠CPD=∠BPD，
∴∠CPD=∠BPD-∠APB-∠APC=180°-30°-100°=50°。
在△CDP中，∠CDP=100°，∠CPD=50°，根据三角形内角和定理，∠C=180°-∠CDP-∠CPD=180°-100°-50°=30°。
30°

10. 如图,BP,CP分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线.若∠P= 40°,则∠A的度数是____.

答案：
∵BP平分∠ABC，设∠ABC=2x，则∠PBC=x。
∵CP平分外角∠ACD，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2x，故∠PCD=∠ACD/2=(∠A+2x)/2=∠A/2 + x。
∵∠PCD是△PBC的外角，
∴∠PCD=∠PBC+∠P。
已知∠P=40°，∠PBC=x，
∴∠PCD=x+40°。
又∠PCD=∠A/2 + x，
∴∠A/2 + x = x + 40°，解得∠A/2=40°，
∴∠A=80°。
80°

【变式】如图,点P是△ABC的外角∠CBE和∠BCF的平分线的交点.若∠A= 58°,则∠P的度数是______.

答案：
∵∠A=58°，在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-58°=122°.
∠CBE是∠ABC的外角，
∴∠CBE=180°-∠ABC；∠BCF是∠ACB的外角，
∴∠BCF=180°-∠ACB.
∵BP平分∠CBE，CP平分∠BCF，
∴∠PBC=∠CBE/2=(180°-∠ABC)/2=90°-∠ABC/2，∠PCB=∠BCF/2=(180°-∠ACB)/2=90°-∠ACB/2.
在△PBC中，∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-[90°-∠ABC/2+90°-∠ACB/2]=180°-[180°-(∠ABC+∠ACB)/2]=(∠ABC+∠ACB)/2=122°/2=61°.
61°

11. 如图,AC,BD交于点O,BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD,且交于点P,BP与AC交于点F,CP与BD交于点E.若∠A= 70°,∠D= 60°,则∠P的度数为______.

答案： 在△AOB和△DOC中，∠AOB=∠DOC（对顶角相等），由三角形内角和定理得：∠A+∠ABO=∠D+∠DCO，即70°+∠ABO=60°+∠DCO，故∠DCO-∠ABO=10°。
设∠ABO=2x，∠DCO=2y，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，则∠ABP=∠PBD=x，∠ACP=∠PCD=y，且2y-2x=10°，即y-x=5°。
在△ABF中，∠AFB=180°-∠A-∠ABP=180°-70°-x=110°-x。
∠AFB与∠PFC为对顶角，故∠PFC=∠AFB=110°-x。
在△PFC中，由内角和定理得：∠PFC+∠P+∠FCP=180°，即110°-x+∠P+y=180°，整理得∠P=70°+x-y。
因为y-x=5°，所以x-y=-5°，则∠P=70°-5°=65°。
65°

12. 如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B= 30°,∠BAC= 130°,求∠E的度数.
(2)求证:∠BAC= ∠B+2∠E.

答案：
(1)
∵∠BAC=130°，∠B=30°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠BAC+∠B=130°+30°=160°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD/2=160°/2=80°.
∵∠ECD是△EBC的外角，
∴∠ECD=∠B+∠E，
∴∠E=∠ECD-∠B=80°-30°=50°.
(2)证明：
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ECD.
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠BAC+∠B，即2∠ECD=∠BAC+∠B.
∵∠ECD是△EBC的外角，
∴∠ECD=∠B+∠E.
∴2(∠B+∠E)=∠BAC+∠B，
∴∠BAC=∠B+2∠E.

13. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,∠BAD= 1/3∠CAD,BE平分∠ABC交AC于点E,∠C= 48°.
(1)求∠AEB的度数;
(2)若点F为线段BC上一动点,当△EFC为直角三角形时,求∠BEF的度数.

答案：
(1)
∵AD⊥BC，∠C=48°，
∴∠CAD=90°-∠C=42°．
∵∠BAD=1/3∠CAD，
∴∠BAD=14°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=56°．
在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠C=76°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=38°．
在△ABE中，∠AEB=180°-∠BAC-∠ABE=180°-56°-38°=86°．
(2) 分两种情况：
①当∠EFC=90°时，EF⊥BC．
在Rt△EFC中，∠FEC=90°-∠C=42°．
∵∠BEC=180°-∠EBC-∠C=94°，
∴∠BEF=∠BEC-∠FEC=94°-42°=52°．
②当∠FEC=90°时，EF⊥AC．
∠BEF=∠AEB-(90°-∠BAC)=86°-(90°-56°)=52°？不对，重新计算：
在△BEC中，∠BEC=94°，∠FEC=90°，
∴∠BEF=∠BEC-∠FEC=94°-90°=4°．
综上，∠BEF=4°或52°．
(1) 86°
(2) 4°或52°