《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

8.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别与AB,AC交于点D,E,连接BE.已知△ABC与△BCE的周长分别为20 cm和12 cm,则BD的长为 ( )

A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm


D.5 cm

答案： C

9.如图,在△ABC中,BC= 10,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G.则△AEG的周长为______.

答案： 10

【变式】如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点F,G,连接AE,AF.若BC= 10,EF= 3,则△AEF的周长为______.

答案： 因为AB的垂直平分线交BC于E，所以AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
因为AC的垂直平分线交BC于F，所以AF=CF（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
△AEF的周长=AE+EF+AF=BE+EF+CF。
由图可知，点E、F在BC上，且顺序为B---E---F---C，所以BC=BE+EF+CF=10。
已知EF=3，则BE+CF=BC-EF=10-3=7。
因此，△AEF的周长=BE+CF+EF=7+3=10。
10

10.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,点E是CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证:AD= FC.
(2)若AD= 3,AB= 5,当点B在线段AF的垂直平分线上时,BC的长为多少? 请说明理由.

答案：
(1) 证明：
因为$AD// BC$，
所以$\angle DAE = \angle F$，$\angle D = \angle ECF$。
又因为点$E$是$CD$的中点，
所以$DE = CE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle FCE$中，
$\begin{cases}\angle DAE = \angle F,\\\angle D = \angle ECF,\\DE = CE.\end{cases}$
所以$\triangle ADE\cong\triangle FCE(AAS)$。
所以$AD = FC$。
(2) 因为点$B$在线段$AF$的垂直平分线上，
所以$AB = BF$。
已知$AB = 5$，$AD = 3$，
由
(1)知$AD = FC$，
所以$FC = 3$。
又因为$BF = BC + FC$，$AB = BF = 5$，
所以$BC = BF - FC = 5 - 3 = 2$。
综上，$BC$的长为$2$。

11.如图,线段BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC于点G.求证:
(1)BF= CG.
(2)AB+AC= 2AG.

答案：
(1)
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG（角平分线的性质）。
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB=EC（线段垂直平分线的性质）。
在Rt△EFB和Rt△EGC中，$\left\{\begin{array}{l} EB=EC\\ EF=EG\end{array}\right.$，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC（HL），
∴BF=CG。
(2)在Rt△AFE和Rt△AGE中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AE\\ EF=EG\end{array}\right.$，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE（HL），
∴AF=AG。
∵F在AB延长线上，
∴AF=AB+BF，即AB=AF-BF=AG-BF（
∵AF=AG）。
∵G在AC上，
∴AC=AG+GC。由
(1)知BF=CG，
∴AC=AG+BF。
∴AB+AC=(AG-BF)+(AG+BF)=2AG。