《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

7.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AC,AB,BC边上的点,且DE⊥AB,FD⊥AC,AD= CF,AE= CD.若∠B= 80°,则∠EDF的度数为 ( )

A.40°
B.45°
C.50°
D.55°

答案： C

8.如图,在△ABC中,∠ABC= 90°,延长AB至点E,使AE= AC,过点E作EF⊥AC于点F,EF交BC于点G,连接AG.若∠C= 40°,则∠EAG的度数为______.

答案：
∵∠ABC=90°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-90°-40°=50°.
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°.
在△ABC和△AFE中，
∠ABC=∠AFE=90°，
∠BAC=∠FAE（公共角），
AC=AE（已知），
∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF.
在Rt△AGB和Rt△AGF中，
AG=AG（公共边），
AB=AF（已证），
∴Rt△AGB≌Rt△AGF（HL），
∴∠BAG=∠FAG.
∵∠BAC=∠BAG+∠FAG=50°，
∴∠BAG=∠FAG=25°，即∠EAG=25°.
25°

9.如图,△ABC≌△AEF,延长BC交EF于点D.若AC⊥BD,且BD= 5,BC= 4,则DE的长为______.

答案：
∵△ABC≌△AEF，
∴BC=EF=4，AC=AF，∠ACB=∠AFE。
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=90°，
∴∠AFE=∠ACB=90°，即∠AFD=90°。
∵BD=5，BC=4，且点C在BD上，
∴CD=BD-BC=5-4=1。
在Rt△ACD和Rt△AFD中，AC=AF，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL）。
∴CD=FD=1。
∵EF=ED+DF，
∴ED=EF-DF=4-1=3。
3

10.如图,在四边形ABCD中,∠B= 90°,AD= AC,E是BC边上一点,连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,AF= AB.求证：
(1)∠DAC= ∠FAB.
(2)DF= CE+EF.

答案：
(1)
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，又∠B=90°，
∴△AFD和△ABC是直角三角形。在Rt△AFD和Rt△ABC中，
∵AD=AC，AF=AB，
∴Rt△AFD≌Rt△ABC(HL)，
∴∠DAF=∠CAB，
∴∠DAF-∠CAF=∠CAB-∠CAF，即∠DAC=∠FAB。
(2)连接AE。在Rt△ABE和Rt△AFE中，
∵AB=AF，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL)，
∴BE=EF。由
(1)知Rt△AFD≌Rt△ABC，
∴DF=BC。
∵BC=BE+EC=EF+EC，
∴DF=CE+EF。

11.如图①,点E,F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,AB= CD,AF= CE,BD交AC于点M.
(1)求证：MB= MD,MF= ME.
(2)当E,F两点移动到如图②所示的位置时,其他条件不变,上述结论是否成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由.

答案：
(1) 证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°。
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD \\ AF=CE \end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）。
∴BF=DE。
在△BFM和△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BFM=∠DEM=90° \\ ∠BMF=∠DME（对顶角相等） \\ BF=DE \end{array}\right.$，
∴△BFM≌△DEM（AAS）。
∴MB=MD，MF=ME。
(2) 结论成立。
证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°。
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD \\ AF=CE \end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）。
∴BF=DE。
在△BFM和△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BFM=∠DEM=90° \\ ∠BMF=∠DME（对顶角相等） \\ BF=DE \end{array}\right.$，
∴△BFM≌△DEM（AAS）。
∴MB=MD，MF=ME。