《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 将两把相同的直尺按如图所示的方式摆放(两直尺各有一边缘与射线OA,OB重合),记两把直尺的接触点为P,连接OP并延长.若∠BOP= 28°,则∠AOB的度数为( )

A.62°
B.56°
C.52°
D.46°

答案： B

2. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,D是AC边上一点,过点D作DE⊥AB于点E.若DC= DE,∠CBD= 25°,则∠A的度数为______.

答案： 因为$DE\perp AB$，$DC\perp BC$，$DC = DE$。
根据角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可知$BD$为$\angle ABC$的平分线。
所以$\angle ABC = 2\angle CBD$。
已知$\angle CBD = 25^{\circ}$，则$\angle ABC = 2×25^{\circ}= 50^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle A=180^{\circ}-\angle C - \angle ABC$。
把$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 50^{\circ}$代入上式，得$\angle A = 180^{\circ}- 90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
本题答案为$40^{\circ}$。

3. 如图,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE= CF.求证:AD是∠BAC的平分线.

答案： 证明：
因为点$D$是$BC$的中点，所以$BD = CD$。
又因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，且$BE = CF$。
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，$\begin{cases}BD = CD\\BE = CF\end{cases}$。
根据$HL$（斜边直角边）定理，可得$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$。
所以$DE = DF$。
因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，且$DE = DF$，点$D$在$\angle BAC$的角平分线上（角平分线性质的逆定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
所以$AD$是$\angle BAC$的平分线。

4. 如图,点P是△ABC内一点,PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,且PD= PE= PF,则点P是△ABC( )

A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条中线的交点

答案： B

5. 【教材P51例变式】如图,△ABC的三边AC,BC,AB的长分别是8,12,16,点O是△ABC三条角平分线的交点,则S△OAB:S△OBC:S△OAC的值为______.

答案： 过点$O$作$OD\perp AC$于点$D$，$OE\perp AB$于点$E$，$OF\perp BC$于点$F$。
因为点$O$是$\triangle ABC$三条角平分线的交点，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以$OD = OE = OF$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），
可得$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}AB\cdot OE$，$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}BC\cdot OF$，$S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}AC\cdot OD$。
因为$OD = OE = OF$，
所以$S_{\triangle OAB}:S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}AB:\frac{1}{2}BC:\frac{1}{2}AC = AB:BC:AC$。
已知$AC = 8$，$BC = 12$，$AB = 16$，
所以$S_{\triangle OAB}:S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OAC}=16:12:8 = 4:3:2$。
故答案为$4:3:2$。

6. 如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭P供大家休息,且凉亭P到草坪三条边的距离相等,请在图中确定凉亭P的位置.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

答案： 1. 作$\angle B$的平分线$BE$。
以$B$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$、$BC$于两点。
分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧在$\angle B$内部交于一点。
过$B$和这个交点作射线$BE$。
2. 作$\angle C$的平分线$CF$。
以$C$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AC$、$BC$于两点。
分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧在$\angle C$内部交于一点。
过$C$和这个交点作射线$CF$。
3. $BE$与$CF$的交点$P$就是所求的凉亭$P$的位置。
因为角平分线上的点到角两边的距离相等，点$P$在$\angle B$的平分线$BE$上，则点$P$到$AB$和$BC$的距离相等；点$P$在$\angle C$的平分线$CF$上，则点$P$到$AC$和$BC$的距离相等，所以点$P$到三角形三条边的距离相等。