《2025年名校作业八年级数学上册人教版湖北专版》

1. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$CA= CB$,$\angle ACB= 90^{\circ}$,点$O为AB$的中点.若点$M$,$N分别在边CA$,$CB$上,且$\angle MON= 90^{\circ}$.求证:$OM= ON$.

答案： 连接CO。
∵△ABC是等腰直角三角形，CA=CB，∠ACB=90°，O为AB中点，
∴CO是AB边上的中线，由三线合一得：CO=AO=BO，∠ACO=∠BCO=45°，∠AOC=90°。
∵∠AOC=90°，∠MON=90°，
∴∠AOC=∠MON，即∠AOM+∠MOC=∠CON+∠MOC，
∴∠AOM=∠CON。
在△AOM和△CON中，
∠A=∠OCN=45°（∠A=45°，∠OCN=∠BCO=45°），
AO=CO，
∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴OM=ON。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC= 2AB$,$AD平分\angle BAC$,交$BC于点D$,点$E是AD$上一点,且$EA= EC$,连接$EB$.求证:$EB\perp AB$.

答案： 过点E作EF⊥AC于点F.
∵EA=EC，EF⊥AC，
∴F为AC中点（等腰三角形三线合一），
∴AF=AC/2.
∵AC=2AB，
∴AF=AB.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE.
在△ABE和△AFE中，
AB=AF，
∠BAE=∠FAE，
AE=AE，
∴△ABE≌△AFE（SAS）.
∴∠ABE=∠AFE.
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°，
∴∠ABE=90°，即EB⊥AB.