《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

11. 如图,已知线段$AB = 4$,点$O是线段AB$上一动点,点$M$,$N是线段AO$,$BO$的中点。
(1)①若$AO = 1$,则$MN = $______；②若$AO = 3$,则$MN = $______。
(2)若$AO = a$,则$MN = $______。
(3)若点$O运动到线段AB$的延长线上,则线段$MN$的长度是否发生变化？画图并说明理由。

答案：
解：（1）①2 ②2 （2）2 （3）线段MN的长度仍然等于2。理由：如图，设BO的长度为a，
∴NO=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{a}{2}$。又
∵AB=4，
∴AO=AB+BO=4+a。
∵点M为AO的中点，
∴MO=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{4+a}{2}$，
∴MN=MO-NO=2。

12. 如图,数轴上点$A$,$B表示的有理数分别为-6$,$3$,点$P是射线AB$上一个动点(不与点$A$,$B$重合)。$M是线段AP靠近点A$的三等分点,$N是线段BP靠近点B$的三等分点。
(1)①若点$P表示的有理数是0$,求$MN$的长；
②若点$P表示的有理数是6$,那么$MN$的长为______。
(2)点$P在射线AB$上运动(不与点$A$,$B$重合)的过程中,$MN$的长是否发生改变？若不改变,请写出求$MN$的长的过程；若改变,请说明理由。

答案：
解：（1）①若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3。
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点，
∴MP=$\frac{2}{3}$AP=4，NP=$\frac{2}{3}$BP=2。
∴MN=MP+NP=6。
②6 提示：若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3。
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点，
∴MP=$\frac{2}{3}$AP=8，NP=$\frac{2}{3}$BP=2，
∴MN=MP-NP=6。（2）MN的长不会发生改变。理由：设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）。当-6＜a＜3时（如图1），AP=a-(-6)=a+6，BP=3-a。
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点，
∴MP=$\frac{2}{3}$AP=$\frac{2}{3}$(a+6)，NP=$\frac{2}{3}$BP=$\frac{2}{3}$(3-a)，
∴MN=MP+NP=6。当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3。
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点，
∴MP=$\frac{2}{3}$AP=$\frac{2}{3}$(a+6)，NP=$\frac{2}{3}$BP=$\frac{2}{3}$(a-3)。
∴MN=MP-NP=6。综上所述，点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6。

13. (2022·桂林)如图,点$C是线段AB$的中点,若$AC = 2\,cm$,则$AB = $______$cm$。

答案： 4

14. (2024·河北)如图,有甲、乙两条数轴。甲数轴上的三点$A$,$B$,$C所对应的数依次为-4$,$2$,$32$,乙数轴上的三点$D$,$E$,$F所对应的数依次为0$,$x$,$12$。
(1)计算$A$,$B$,$C$三点所对应的数的和,并求线段$AB与AC$的比值。
(2)当点$A与点D$上下对齐时,点$B$,$C恰好分别与点E$,$F$上下对齐,求$x$的值。

答案： 解：（1）
∵点A，B，C所对应的数依次为-4，2，32，
∴A，B，C三点所对应的数的和为-4+2+32=30。
∵AB=2-(-4)=6，AC=32-(-4)=36，
∴线段AB与AC的比值为6:36=1:6。（2）由数轴得，DF=12-0=12，
∵当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴DE与DF的比值等于AB与AC的比值，
∴DE=$\frac{1}{6}$DF=2。
∴x=2。