《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

5. 如图所示,各正方形的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,“◆”位置的数是____。

答案： 158

6. 以下是一组按规律排列的多项式：$$a^{2}+b$$,$$a^{4}+b^{2}$$,$$a^{6}+b^{3}$$,$$a^{8}+b^{4}$$,$$a^{10}+b^{5}$$,…,其中第 n 个多项式是( )

$A.a^{n}+b^{n}$
$B.a^{2n}+b^{n}$
$C.a^{n+2}+b^{n}$
$D.a^{2n}+b^{n - 1}$

答案： B

7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案,其中第 1 个图案用了 11 根木棍,第 2 个图案用了 14 根木棍,第 3 个图案用了 21 根木棍,第 4 个图案用了 24 根木棍,…,按此规律拼下去,第 9 个图案用的木棍根数是( )

A.41
B.44
C.45
D.51

答案： D

8. 如图,数轴上 O,A 两点的距离为 3,一动点 P 从点 A 出发,按以下规律跳动：第 1 次跳动到 AO 的中点$$A_{1}$$处,第 2 次从$$A_{1}$点跳动到$A_{1}O$的中点$A_{2}$$处,第 3 次从$$A_{2}$点跳动到$A_{2}O$的中点$A_{3}$$处,按照这样的规律继续跳动到点$$A_{4}$$,$$A_{5}$$,$$A_{6}$$,…,$$A_{n}$$(n≥3,n 是整数)处,那么线段$$OA_{n}$$的长度为( )

$A.\frac{3}{2^{n - 2}}$
$B.\frac{3}{2^{n - 1}}$
$C.\frac{3}{2^{n}}$
$D.\frac{3}{2^{n + 1}}$

答案： C

9. 如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和等边三角形拼接而成的。
第 1 个图案有 4 个等边三角形和 1 个正方形；第 2 个图案有 7 个等边三角形和 2 个正方形；第 3 个图案有 10 个等边三角形和 3 个正方形；…

(1) 依此规律,第 n(n 为正整数)个图案有多少个正方形和等边三角形？(用含 n 的代数式表示)
(2) 当 n = 2025 时,正方形和等边三角形的个数共有多少个？
(3) 若正方形和等边三角形的边长为 1,求第 10 个图形中所有线段长度的和。

答案： 解：（1）观察所给图形可知，第1个图案中正方形的个数为1，等边三角形的个数为$4=1×3+1$；第2个图案中正方形的个数为2，等边三角形的个数为$7=2×3+1$；第3个图案中正方形的个数为3，等边三角形的个数为$10=3×3+1$；…；
∴第n个图案中正方形的个数为n，等边三角形的个数为$(3n+1)$。（2）当$n=2025$时，$n+3n+1=4×2025+1=8101$（个）。（3）
∵正方形和等边三角形的边长为1，根据图形的变化规律，我们可以推出各个图形的长度如下：第1个图形中线段的长度之和为$1×8+4=12$；第2个图形中线段的长度之和为$2×8+4=20$；第3个图形中线段的长度之和为$3×8+4=28$；…；
∴第n个图形中线段的长度之和为$(8n+4)$。当$n=10$时，$8n+4=8×10+4=84$。