《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

8. (1) 如图,$ l_1 $ 与 $ l_2 $ 是同一平面内两条相交直线,它们有一个交点,如果在这个平面内再画第三条直线 $ l_3 $,那么这三条直线最少有几个交点？最多有几个交点？
(2) 如果在 (1) 的基础上在这个平面内再画第四条直线 $ l_4 $,那么这四条直线最多可有多少个交点？
(3) 由 (1)(2) 我们可以猜想：在同一平面内,6 条直线最多可有多少个交点？$ n $ ($ n＞1 $) 条直线最多可有多少个交点？(用含 $ n $ 的代数式表示)

答案：
解：
(1) 最少1个，交点的最多个数为1+2=3。
(2) 1+2+3=6。
(3) 1+2+3+4+5=15；1+2+3+…+(n-1)=$\frac{1}{2}n(n-1)$。

9. (1) 【观察思考】
如图,线段 $ AB $ 上有两个点 $ C $,$ D $,图中共有______条线段。
(2) 【模型构建】
如果线段上有 $ m $ 个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有______条线段。请简要说明结论的正确性。
(3) 【拓展应用】
8 位同学参加班上组织的象棋比赛,比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛),那么一共要进行______场比赛。类比【模型构建】简要说明。

答案： 解：
(1) 6
(2) $\frac{m(m-1)}{2}$ 理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+…+3+2+1，所以倒序排列有x=1+2+3+…+(m-3)+(m-2)+(m-1)。所以2x=m(m-1)。所以x=$\frac{m(m-1)}{2}$。
(3) 28 理由：把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行$\frac{8×(8-1)}{2}=28$（场）比赛。