《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

7. 某校积极推进“阳光体育”工程,在七年级$11$个班中开展篮球单循环比赛(每班需进行$10$场比赛)。比赛规定：每场比赛必须分出胜负,胜一场得$3$分,负一场得$-1$分。某班完成所有比赛后只得$14$分,那么该班胜、负场数分别是多少？

答案： 解：设该班胜$x$场，则该班负$(10-x)$场。$3x-(10-x)=14$。解得$x=6$。$10-x=4$。答：该班胜6场，负4场。

8. (1) $x$取何值时,代数式$2x + 3(2x - 1)与(x + 1) - 16$的值互为相反数？
(2) $k$取何值时,关于$x的方程2(2x - 3) = 1 - 2x与8 - k = 2(x + 1)$的解相同？

答案： 解：（1）由题意，得$2x+3(2x-1)=-[(x+1)-16]$。去括号，得$2x+6x-3=16-x-1$。移项、合并同类项，得$9x=18$。系数化为1，得$x=2$。（2）将方程$2(2x-3)=1-2x$去括号、移项、合并同类项，得$6x=7$。系数化为1，得$x=\frac{7}{6}$。
∵关于$x$的方程$2(2x-3)=1-2x$与$8-k=2(x+1)$的解相同，
∴$8-k=2×(\frac{7}{6}+1)$。解得$k=\frac{11}{3}$。

*9. 观察下列一组具有特殊形式的方程的解和方程各项系数之间的联系：
$x + \frac{1}{2} = 0的解为x = -\frac{1}{2}$,而$-\frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 1$；$2x + \frac{4}{3} = 0的解为x = -\frac{2}{3}$,而$-\frac{2}{3} = \frac{4}{3} - 2$；…$$。
若设这种类型方程的一般形式为$ax + b = 0$($a$,$b$为常数,且$a\neq 0$)。
(1) 请依据发现的方程的解和方程各项系数之间的关系,写出方程$ax + b = 0$($a\neq 0$)的解。
(2) 我们将上述类型的方程$ax + b = 0$定义为“和谐方程”。请继续探究下列问题：
①方程$-3x - \frac{9}{2} = 0$是不是“和谐方程”？请说明理由。
②若$a = -1$,有符合要求的“和谐方程”吗？若有,求出该方程的解；若没有,请说明理由。

答案： 解：（1）$x=b-a$。（2）①方程$-3x-\frac{9}{2}=0$是“和谐方程”。理由：方程$-3x-\frac{9}{2}=0$的解为$x=-\frac{3}{2}$。
∵$-\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}-(-3)$，
∴方程$-3x-\frac{9}{2}=0$是“和谐方程”。②若$a=-1$，没有符合要求的“和谐方程”。理由：假设若$a=-1$，有符合要求的“和谐方程”，那么$-x+b=0$为“和谐方程”，则方程$-x+b=0$的解为$x=b-(-1)=b+1$。而方程$-x+b=0$的解为$x=b$。显然假设不成立。
∴若$a=-1$，没有符合要求的“和谐方程”。

10. (2024·新疆) 解方程：$2(x - 1) - 3 = x$。

答案： 解：去括号，得$2x-2-3=x$。移项，得$2x-x=2+3$。合并同类项，得$x=5$。