《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

9. 阅读下面材料：
在数轴上 $5$ 与 $-2$ 所对的两点之间的距离为 $|5 - (-2)| = 5 - (-2) = 7$；
在数轴上 $-8$ 与 $-5$ 所对的两点之间的距离为 $|(-8) - (-5)| = -5 - (-8) = 3$；
在数轴上点 $A$,$B$ 分别表示数 $a$,$b$,则 $A$,$B$ 两点之间的距离 $AB = |a - b| = |b - a|$。
(第9题图)
回答下列问题：
(1) 求数轴上表示数 $x$ 和 $-3$ 的两点之间的距离。
(2) 当 $a \geq b$ 时,$|a - b|= $______；当 $a ＜ b$ 时,$|a - b|= $______。
(3) 借助 (2) 的发现,计算：$\left|\frac{1}{2} - 1\right| + \left|\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right| + \left|\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right| + … + \left|\frac{1}{2024} - \frac{1}{2023}\right|$。
(4) 利用数形结合思想,智慧学习小组在数学老师的指导下,对式子 $|x + 2| + |x - 3|$ 进行探究：
①当表示数 $x$ 的点在 $-2$ 与 $3$ 之间移动时,请说明 $|x - 3| + |x + 2|$ 的值是一个固定的值；
②若表示数 $x$ 的点在原点的左边,且 $|x - 3| + |x + 2| = 7$,求 $x$ 的值。

答案：
9.解:
(1) 数轴上表示数x和 -3的两点之间的距离为|x - (-3)| = |x + 3|。
(2) a - b　b - a
(3) 原式 = (1 - $\frac{1}{2}$) + ($\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$) + ($\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$) + … + ($\frac{1}{2023}$ - $\frac{1}{2024}$) = 1 - $\frac{1}{2024}$ = $\frac{2023}{2024}$。
(4) ①画出数轴如图1所示。利用数形结合思想方法可知，当表示数x的点在 -2与3之间移动时，x的最小值为 -2，最大值为3，
∴ x + 2 ≥ 0，x - 3 ≤ 0。
∴ |x - 3| + |x + 2| = x + 2 + [-(x - 3)] = x + 2 + 3 - x = 5。
∴ |x - 3| + |x + 2|的值是一个固定的值5。②
∵ |x - 3| + |x + 2| = 7，由①结论可知表示x的点不可能在表示 -2和0的点之间，
∴ 表示x的点在表示 -2点的左边。
∵ |x - 3|是表示x的点与表示3的点的距离，|x + 2|是表示x的点与表示 -2的点的距离，如图2可知，在表示 -2点的左边，且满足|x - 3| + |x + 2| = 7时，x = -3。

10. (2024·台湾) 算式 $\frac{3}{7} - \left(-\frac{1}{4}\right)$ 的值为( )

A.$\frac{19}{28}$
B.$\frac{5}{28}$
C.$\frac{4}{11}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 10.A

11. (2021·河北) 能与 $-\left(\frac{3}{4} - \frac{6}{5}\right)$ 相加得 $0$ 的是( )

A.$-\frac{3}{4} - \frac{6}{5}$
B.$\frac{6}{5} + \frac{3}{4}$
C.$-\frac{6}{5} + \frac{3}{4}$
D.$-\frac{3}{4} + \frac{6}{5}$

答案： 11.C