《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

例题 任意写一个四位数,这个数能否被9整除,只要看这个数各个数位上的数字之和能否被9整除,请你说明其中的道理。
【分析】 不妨设四位数为 $1000a + 100b + 10c + d$,由题设知要看这个数各个数位上的数字之和能否被9整除,故我们需要将这四位数表示为含有9的倍数的整式与 $(a + b + c + d)$ 的代数式的形式,因为9的倍数的整式一定能被9整除,所以只要判断含有 $(a + b + c + d)$ 的项能否被9整除,问题即可解决。
【解答】 设这个四位数千位数字为 $a$,百位数字为 $b$,十位数字为 $c$,个位数字为 $d$,则这个四位数可表示为 $1000a + 100b + 10c + d$,$1000a + 100b + 10c + d = (999 + 1)a + (99 + 1)b + (9 + 1)c + d = 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) = 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)$。
因为 $9(111a + 11b + c)$ 一定能被9整除,所以只要 $(a + b + c + d)$ 能被9整除,这个四位数就一定能被9整除。
【点拨】 此题给出了判断任意整数能否被9(或3)整除的一般方法,即只要将该数的各个数位上的数字相加,看其和能否被9(或3)整除。

答案： 设任意四位数为$1000a + 100b + 10c + d$（其中$a$为$1$到$9$的整数，$b,c,d$为$0$到$9$的整数）。
该四位数可变形为：
$1000a + 100b + 10c + d$
$ = (999 + 1)a + (99 + 1)b + (9 + 1)c + d$
$ = 999a + 99b + 9c + a + b + c + d$
$ = 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)$
因为$9(111a + 11b + c)$是$9$的倍数，一定能被$9$整除。
所以当$a + b + c + d$能被$9$整除时，这个四位数就能被$9$整除。
即任意四位数能否被$9$整除，只要看这个数各个数位上的数字之和能否被$9$整除。

1. 若一个正有理数除以5余2,那么这个正有理数可表示为______。

答案： 5n+2（n 为正整数）

2. 下列各式是个位数字为5的整数的平方运算：$15^{2} = 225$；$25^{2} = 625$；$35^{2} = 1225$；$45^{2} = 2025$；$55^{2} = 3025$；$65^{2} = 4225$；…。观察这些数的规律,试利用该规律直接写出 $9995^{2}$ 的运算结果：______。

答案： 99 900 025

3. 取一个自然数,若它是奇数,则乘3加上1,若它是偶数,则除以2,按此规则,经过若干步的计算最终可得到1。这个结论在数学上还没有得到证明,但举例验证都是正确的。例如：取自然数5,最少经过下面5步运算可得1,即 $5 \xrightarrow{× 3 + 1} 16 \xrightarrow{÷ 2} 8 \xrightarrow{÷ 2} 4 \xrightarrow{÷ 2} 2 \xrightarrow{÷ 2} 1$。如果自然数 $m$ 最少经过7步运算可得到1,则所有符合条件的 $m$ 的最小值为______。

答案： 3

4. 如图,某链条每节长为2.8 cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1 cm,按这种连接方式,50节链条总长度为______cm。

答案： 91 提示：排列规律为 2.8+(2.8-1)(n-1)。