《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

14. 在数学活动课上,有三位同学各拿出一张卡片,卡片上分别写上 $ A $,$ B $,$ C $ 三个代数式,已知 $ A = -2x^{2}-(k - 1)x + 1 $,$ B = -2(x^{2}-x + 2) $。
(1) 当 $ x = -3 $时,试求出 $ B $的值。
(2) 当 $ k = -1 $,$ C = B - A $时,试求 $ C $的代数式。
(3) 若代数式 $ C $是二次单项式,$ 2A - B + C $的结果为常数,试求出 $ k $的值和 $ C $的代数式。

答案： 解：（1）当x=-3时，B=-2×(9+3+2)=-2×14=-28。（2）当k=-1时，C=B-A=-2(x²-x+2)-[-2x²-(-1-1)x+1]=-2x²+2x-4+2x²-2x-1=-5。（3）2A-B=2[-2x²-(k-1)x+1]-[-2(x²-x+2)]=-4x²-2(k-1)x+2+2(x²-x+2)=-4x²-2kx+2x+2+2x²-2x+4=-2x²-2kx+6。
∵代数式 C 是二次单项式，2A-B+C的结果，即-2x²-2kx+6+C的结果为常数，
∴k=0,C=2x²。

15. 给出如下定义：我们把有序实数对 $ (a,b,c) $叫作关于 $ x $的二次多项式 $ ax^{2}+bx + c $的附属系数对,把关于 $ x $的二次多项式 $ ax^{2}+bx + c $叫作有序实数对 $ (a,b,c) $的附属多项式。
(1) 关于 $ x $的二次多项式 $ x^{2}-2x + 3 $的附属系数对为______。
(2) 已知有序实数对 $ (a,2,-1) $的附属多项式与有序实数对 $ (-3,-2,4) $的附属多项式的差中不含二次项,求 $ a $的值。

答案： 解：（1）(1,-2,3)。（2）依题意，得有序实数对(a,2,-1)的附属多项式为ax²+2x-1，有序实数对(-3,-2,4)的附属多项式为-3x²-2x+4，则(ax²+2x-1)-(-3x²-2x+4)=ax²+2x-1+3x²+2x-4=(a+3)x²+4x-5。
∵两个多项式的差中不含二次项，
∴a+3=0，即a=-3。

16. (2024·重庆) 一个各数位均不为 0 的四位自然数 $ M= \overline{abcd} $,若满足 $ a + d = b + c = 9 $,则称这个四位数为“友谊数”。例如：四位数 1 278,$ \because 1 + 8 = 2 + 7 = 9 $,$ \therefore 1278 $是“友谊数”。若 $ \overline{abcd} $是一个“友谊数”,且 $ b - a = c - b = 1 $,则这个四位数为______。

答案： 3456

17. (2023·德阳) 在“点燃我的梦想,数学皆有可能”数学创新设计活动中,“智多星”小赵同学设计了一个数学探究活动,对依次排列的两个整式 $ m $,$ n $按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式 $ m $,$ n $,$ n - m $；
第2次操作后得到整式 $ m $,$ n $,$ n - m $,$ -m $；
第3次操作后…
其操作规则为每次操作增加的项,都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差。小赵将这个活动命名为“回头差”游戏,则该“回头差”游戏第2 023次操作后得到的整式串各项之和是( )

A.$ m + n $
B.$ m $
C.$ n - m $
D.$ 2n $

答案： D 提示：第 1 次操作后得到整式串 m，n，n-m；第 2 次操作后得到整式串 m，n，n-m，-m；第 3 次操作后得到整式串 m，n，n-m，-m，-n；第 4 次操作后得到整式串 m，n，n-m，-m，-n，-n+m；第 5 次操作后得到整式串 m，n，n-m，-m，-n，-n+m，m；第 6 次操作后得到整式串 m，n，n-m，-m，-n，-n+m，m，n；第 7 次操作后得到整式串 m，n，n-m，-m，-n，-n+m，m，n，n-m。归纳得以上整式串每六个一循环，而每 6 个整式和为m+n+(n-m)+(-m)+(-n)+(-n+m)=0。第 2023 次操作后得到整式串 m，n，n-m，-m，-n，-n+m，…，m，n，n-m，共 2025 个整式。
∵2025÷6=337... 3，
∴第 2023 次操作后得到的整式串之和等于最后三项之和，即m+n+(n-m)=2n。