《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

13. 【概念学习】
我们规定：求若干个相同的有理数(均不等于 0)的除法运算叫作除方。一般地,把 $a÷a÷a÷…÷a$($n$ 个 $a$ 相除,$a≠0$)记作 $a^{\odot n}$,读作“$a$ 的圈 $n$ 次方”。如 $2÷2÷2÷2$,$(-3)÷(-3)÷(-3)$ 等。类比有理数的乘方,我们把 $2÷2÷2÷2$ 记作 $2^{\odot 4}$,读作“2 的圈 4 次方”；$(-3)÷(-3)÷(-3)$ 记作 $(-3)^{\odot 3}$,读作“-3 的圈 3 次方”。
【初步探究】
(1) 关于除方,下列说法：①任何非零数的圈 3 次方都等于它的倒数；②对于任何正整数 $n$,$1^{\odot n}= 1$；③负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数；④$3^{\odot 4}= 4^{\odot 3}$。
其中正确的有 ______ (填序号)。
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算也可以转化为乘法运算,例如：$2^{\odot 4}= 2÷2÷2÷2 = 2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}= 2×(\frac{1}{2})^{3}$。
(2) 算一算：$12^{2}÷(-\frac{1}{3})^{\odot 4}×(-\frac{1}{2})^{\odot 3}-(-\frac{1}{3})^{\odot 4}÷3^{4}$。

答案： （1）①②③ （2）原式$=144÷[(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})]×[(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})]-[(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})]÷3^{4}=144÷(-3)^{2}×(-2)-(-3)^{2}÷3^{4}=144÷9×(-2)-3^{2}÷3^{4}=- \frac{288}{9}-\frac{1}{9}=-\frac{289}{9}$。

14. (2023·南京) 计算 $2^{3}×4^{4}×(\frac{1}{8})^{5}$ 的结果是 ______ 。

答案： $\frac{1}{16}$

15. (2024·西藏) 已知 $a$,$b$ 都是实数,若 $(a + 2)^{2}+|b - 1| = 0$,则 $(a + b)^{2023}$ 的值是( )

A.$-2023$
B.$-1$
C.$1$
D.$2023$

答案： B

16. (2022·长沙) 当今大数据时代,“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点,它已被广泛应用于我们的日常生活中。通常,一个“二维码”由 1000 个大大小小的黑白小方格组成,其中大约 $80\%$ 的小方格专门用作纠错码和其他用途的编码,这相当于 1000 个方格中只有 200 个方格作为数据码。根据相关数学知识,这 200 个方格可以生成 $2^{200}$ 个不同的数据二维码,现有四名同学对 $2^{200}$ 的理解如下：

A.$2^{200}$ 就是 200 个 2 相乘,它是一个非常非常大的数；
B.$2^{200}$ 等于 $200^{2}$；
C.$2^{200}$ 的个位数字是 6；
D.因为 $2^{10}= 1024$,$10^{3}= 1000$,所以由乘方定义我估计 $2^{200}$ 比 $10^{60}$ 大。
其中对 $2^{200}$ 的理解错误的同学是 ______ (填字母)。

答案： B