《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

11. 某地区有一个水库的形状近似于长方体,其深度为$a$m,底面是一个正方形,且边长是深度的一半,则这个水库的最大蓄水量为( )

A.$\frac{1}{2}a^{3}$m^3
B.$\frac{1}{4}a^{3}$m^3
C.$a^{3}$m^3
D.$2a^{3}$m^3

答案： （1）单项式：$\{-15a^{2}b,\frac{3x^{2}}{\pi},-a,\cdots\}$；多项式：$\{2x-3y,4a^{2}b^{2}-4ab+b^{2},x^{3}+2y-x,\cdots\}$。（2）单项式$-15a^{2}b$的系数最小，系数是-15。（3）$4a^{2}b^{2}-4ab+b^{2}$的次数最高，次数是 4。

12. 单项式$\frac{4}{3}\pi R^{3}$的系数和次数分别是( )

A.$\frac{4}{3}\pi$,三次
B.$\frac{4}{3}\pi$,四次
C.$\frac{4}{3}$,四次
D.$\frac{4}{3}$,三次

答案： A

13. 下列说法正确的是( )

A.$\frac{y}{x}$是单项式,系数是1
B.多项式$a^{2} - 2ab + b^{2}是单项式a^{2}$,$2ab$,$b^{2}$的和
C.$\frac{b + 1}{c}$是多项式
D.$\frac{2(a^{2} - b^{2})}{3}$是二次二项式

答案： D

14. 下列代数式：$-15a^{2}b$,$\frac{3x^{2}}{\pi}$,$2x - 3y$,$4a^{2}b^{2} - 4ab + b^{2}$,$-a$,$x^{3} + 2y - x$。
(1) 哪些是单项式？哪些是多项式？请分别填入所属的集合中。
单项式：｛ …｝；
多项式：｛ …｝。
(2) 哪个单项式的系数最小？该单项式的系数是多少？
(3) 哪个多项式的次数最高？该多项式的次数是多少？

答案：
(1)
单项式：$\{-15a^{2}b,\frac{3x^{2}}{\pi}, -a\}$；
多项式：$\{2x - 3y,4a^{2}b^{2} - 4ab + b^{2},x^{3} + 2y - x\}$。
(2)
$-15a^{2}b$的系数是$-15$，$\frac{3x^{2}}{\pi}$的系数是$\frac{3}{\pi}$，$-a$的系数是$-1$。
因为$-15\lt -1\lt\frac{3}{\pi}$，所以$-15a^{2}b$的系数最小，系数是$-15$。
(3)
$2x - 3y$次数是$1$；$4a^{2}b^{2} - 4ab + b^{2}$次数是$4$；$x^{3} + 2y - x$次数是$3$。
所以$4a^{2}b^{2} - 4ab + b^{2}$次数最高，次数是$4$。

15. 已知圆形水桶(无盖)的底面半径为$R$cm,水桶高为$h$cm,求制作这样一个水桶至少需要多少平方厘米的铁皮(不计损耗),并说明该代数式是单项式还是多项式。

答案： $2\pi Rh+\pi R^{2}$，是多项式。