《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

5. 奥地利数学家皮克发现一个计算正方形网格纸中不规则多边形面积的公式,即“方格法”计算公式。计算方法如下：
假定每个小方格的边长为1个单位长度,S为图形的面积,L是图形的边界上的格点数,N是图形内部的格点数,则有S = $\frac{L}{2}$ + N - 1。请根据此方法计算下列不规则多边形的面积。
(说明：由n条线段依次首尾连接而成的封闭图形叫作n边形,这些线段的端点叫作顶点；网格中小正方形的顶点叫作格点)
(1) 如图1,求四边形ABCD的面积。
(2) 如图2,求此图形的面积。

答案： 解：（1）由图1可知$L=8$，$N=18$，$\therefore S=\frac{L}{2}+N-1=\frac{8}{2}+18-1=21$。（2）由图2可知$L=9$，$N=9$，$S=\frac{9}{2}+9-1=12.5$。

6. 假设足球和月球上各有一道铁箍,若将铁箍各向外扩1m(即直径增加2m),哪一个增加的铁箍长？为什么？

答案： 解：一样长。设足球与月球的半径分别为$r$，$R$，则足球增加的铁箍长为$2\pi(r+1)-2\pi r=2\pi$，月球增加的铁箍长为$2\pi(R+1)-2\pi R=2\pi$，故增加的铁箍一样长。

7. 如图,第1个图案中等边三角形的个数为2,正方形的个数为1,周长为6cm；第2个图案中等边三角形的个数为6,正方形的个数为2,周长为8cm；第3个图案中等边三角形的个数为10,正方形的个数为3,周长为10cm；第4个图案中等边三角形的个数为14,正方形的个数为4,周长为12cm；…

(1) 第5个图案中等边三角形的个数是多少？周长又是多少？
(2) 求第n个图案中等边三角形、正方形的个数及周长。(用含n的代数式表示)
(3) 当一个图案的周长为2024cm时,这个图案中有多少个等边三角形？有多少个正方形？

答案： 解：（1）第5个图案中等边三角形的个数为18，周长为14 cm。（2）$\because$第1个图案中等边三角形的个数为2，正方形的个数为1，周长为6 cm；第2个图案中等边三角形的个数为6，正方形的个数为2，周长为8 cm；第3个图案中等边三角形的个数为10，正方形的个数为3，周长为10 cm；第4个图案中等边三角形的个数为14，正方形的个数为4，周长为12 cm；$\therefore$第$n$个图案中等边三角形的个数为$2+4(n-1)=4n-2$，正方形的个数为$n$，周长为$6+2(n-1)=(2n+4)\ cm$。（3）$\because2n+4=2\ 024$，$\therefore n=(2\ 024-4)÷2=1\ 010$。$\therefore$这个图案中有$4×1\ 010-2=4\ 038$（个）等边三角形，1 010个正方形。