《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

9. 按一定规律排列的一组有理数依次为 $\frac{1}{2}$,$-\frac{3}{5}$,$\frac{1}{2}$,$-\frac{7}{17}$,$\frac{9}{26}$,$-\frac{11}{37}$,…,则按此规律排列的第 10 个数是( )

A.$-\frac{19}{101}$
B.$\frac{21}{101}$
C.$-\frac{19}{82}$
D.$\frac{21}{82}$

答案： A

10. 计算：
(1) $(-6)^{3}$；
(2) $-1.5^{3}$；
(3) $(-\frac{4}{5})^{4}$；
(4) $-2^{3}×(-3)^{2}$；
(5) $(-8)^{2}×(-\frac{1}{4})^{3}$；
(6) $(-3)^{3}×(-\frac{2}{3})^{5}$。

答案： （1）$-216$（2）$-3.375$（3）$\frac{256}{625}$（4）$-72$（5）$-1$（6）$\frac{32}{9}$

11. 有一张厚度为 $0.1$ mm 的纸,将它对折 1 次后,厚度为 $2×0.1$ mm。
(1) 对折 2 次后,厚度是多少毫米？对折 3 次后,厚度又是多少毫米？
(2) 对折 20 次后,厚度为多少毫米？大约有多少层楼高？
(友情提示：$2^{19}= 524288$,$2^{20}= 1048576$,$2^{21}= 2097152$。设每层楼高度为 $3$ m)

答案： 解：（1）对折2次后，厚度为$4×0.1=2^{2}×0.1=0.4$（mm）；对折3次后，厚度为$8×0.1=2^{3}×0.1=0.8$（mm）。（2）对折20次后，厚度为$2^{20}×0.1=1048576×0.1=104857.6$（mm）。$104857.6÷1000÷3≈35$（层）。答：厚度为104857.6mm，大约有35层楼高。

12. 《庄子》中记载：一尺之棰,日取其半,万世不竭。这句话的意思是一尺长的木棍,每天截取它的一半,永远也截不完。若按此方式截一根长为 $1$ m 的木棍。
(1) 第 5 天截取后木棍剩余的长度是多少？截取的所有木棍总长度是多少？
(2) 第 $n$ 天截取后木棍剩余的长度是多少？截取的所有木棍总长度是多少？

答案： 解：（1）由题意可知，第1天截取后木棍剩余长度为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（m）；第2天截取后木棍剩余长度为$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^{2}}$（m）；第3天截取后木棍剩余长度为$\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2^{3}}$（m）；第4天截取后木棍剩余长度为$\frac{1}{2^{3}}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{2^{4}}$（m）；第5天截取后木棍剩余长度为$\frac{1}{2^{4}}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{2^{5}}$（m）。截取的所有木棍总长度为$1-\frac{1}{2^{5}}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$（m）。（2）由（1）可推出第n天截取后木棍剩余长度为$\frac{1}{2^{n}}$m，
∴第n天截取后截取的所有木棍总长度为$1-\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}$（m）。