《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

【问题提出】
将长方形$ABCD的四条边都n (n \geq 2)$等分,分别连接长方形$ABCD$对边的各对应的等分点,得到如图1所示的图形,探究图1中共有多少个长方形。(包括图中所有的长方形)
【问题探究】
为解决上面的问题,小李采取一般问题特殊化的策略。她先从最简单的二等分入手开始探究,再依据积累的解题经验,逐渐深入,最后探究【问题提出】中的问题。下面是小李探究的过程：
如图2,小李先将$AB$边二等分,则等分点将$AB边分为\frac{1}{2} × 2 × 3$条线段,即3条线段；
接着按照上述方法将其他三边$BC$,$CD$,$AD$分别二等分,连接$AB$,$CD$对边各对应等分点,再连接$BC$,$AD$对边各对应等分点,进而得到如图3所示的图形,于是小李发现,图3中共有长方形的个数为$(\frac{1}{2} × 2 × 3) × (\frac{1}{2} × 2 × 3) = (\frac{1}{2} × 2 × 3)^2 = 3^2 = 9$。
小李继续按上述二等分的方法,将长方形$ABCD的边AB$,$BC$,$CD$,$AD$分别三等分,再连接对边各对应的等分点得到如图4所示的图形,于是小李发现,图4中共有长方形的个数为$(\frac{1}{2} × 3 × 4) × (\frac{1}{2} × 3 × 4) = (\frac{1}{2} × 3 × 4)^2 = 6^2 = 36$。
(1) 如图5是小李继续按照上述探究方法得到的图形,请你依据小李的探究经验,求出图5中共有多少个长方形。








【问题解决】
(2) 依据上述的解题经验,请你求出【问题提出】中的图1共有多少个长方形。
【拓展延伸】
(3) 将一个长方体的各条棱$n (n \geq 2)$等分,连接各条棱上对应的等分点得到如图6所示的图形,请求出图6中共有多少个长方体。(包括图中所有的长方体)

答案： 解：（1）$\left(\dfrac{1}{2}× 4× 5\right)× \left(\dfrac{1}{2}× 4× 5\right)=\left(\dfrac{1}{2}× 4× 5\right)^2=10^2=100$。（2）$\dfrac{1}{2}n(n+1)× \dfrac{1}{2}n(n+1)=\left[\dfrac{1}{2}n(n+1)\right]^2$。（3）$\dfrac{1}{2}n(n+1)× \dfrac{1}{2}n(n+1)× \dfrac{1}{2}n(n+1)=\left[\dfrac{1}{2}n(n+1)\right]^3$。