《2025年新课程能力培养七年级数学上册北师大版》

7. (2024·无锡)《九章算术》中有一道 “凫雁相逢” 问题(凫：野鸭),大意如下：野鸭从南海飞到北海需要 7 天,大雁从北海飞到南海需要 9 天。如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞,经过多少天相遇？设经过 $x$ 天相遇,则下列方程正确的是( )

A.$\frac{1}{7}x + \frac{1}{9}x = 1$
B.$\frac{1}{7}x - \frac{1}{9}x = 1$
C.$9x + 7x = 1$
D.$9x - 7x = 1$

答案： A

8. (2024·陕西)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除,若小峰单独完成此次扫除需 4 h,若爸爸单独完成此次扫除需 2 h。当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了 3 h,求小峰打扫了多长时间。

答案： 解：设这次小峰打扫了 $ x \, h $，则爸爸打扫了 $ (3-x) \, h $。根据题意，得 $ \frac{1}{4}x+\frac{1}{2}(3-x)=1 $。解得 $ x=2 $。答：小峰打扫了 $ 2 \, h $。

9. (2023·南京)如图,某校的饮水机有温水、开水两个按钮,温水和开水共用一个出水口。温水的温度为 $30^{\circ}C$,流速为 20 mL/s；开水的温度为 $100^{\circ}C$,流速为 15 mL/s。某学生先接了一会儿温水,又接了一会儿开水,得到一杯 280 mL 温度为 $60^{\circ}C$ 的水(不计热损失),求该学生分别接温水和开水的时间。(物理常识：开水和温水混合时会发生热传递,开水放出的热量等于温水吸收的热量,可以转化为开水的体积×开水降低的温度= 温水的体积×温水升高的温度)

答案： 解：设该学生接温水的时间为 $ x \, s $，根据等量关系，列出方程，得 $ 20x \cdot (60-30)=(280-20x) \cdot (100-60) $。解得 $ x=8 $。$ \therefore \frac{280-20 × 8}{15}=8 $。因此，该学生接温水的时间为 $ 8 \, s $，接开水的时间为 $ 8 \, s $。

10. (2024·威海)定义：我们把数轴上表示数 $a$ 的点与原点的距离叫作数 $a$ 的绝对值。数轴上表示数 $a$,$b$ 的点 $A$,$B$ 之间的距离 $AB = a - b$($a \geq b$)。特别地,当 $a \geq 0$ 时,表示数 $a$ 的点与原点的距离等于 $a - 0$；当 $a ＜ 0$ 时,表示数 $a$ 的点与原点的距离等于 $0 - a$。
应用：如图,在数轴上,动点 $A$ 从表示-3 的点出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴的正方向运动。同时,动点 $B$ 从表示 12 的点出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴的负方向运动。
(1)经过多长时间,点 $A$,$B$ 之间的距离等于 3 个单位长度？
(2)求点 $A$,$B$ 到原点的距离之和的最小值。

答案： 解：（1）设经过 $ x \, s $，点 A，B 之间的距离等于 3 个单位长度。由题意，得 $ |(-3+x)-(12-2x)|=3 $。解得 $ x=4 $ 或 $ x=6 $。答：经过 $ 4 \, s $ 或 $ 6 \, s $，点 A，B 之间的距离等于 3 个单位长度。（2）设经过 $ x \, s $，点 A，B 到原点的距离之和为 $ y $，则 $ y=|-3+x|+|12-2x| $。①当 $ x \leqslant 3 $ 时，$ y=|-3+x|+|12-2x|=3-x+12-2x=-3x+15 $，当 $ x=3 $ 时，$ y $ 值最小，为 6；②当 $ 3 ＜ x \leqslant 6 $ 时，$ y=|-3+x|+|12-2x|=x-3+12-2x=-x+9 $，当 $ x=6 $ 时，$ y $ 值最小，为 3；③当 $ x ＞ 6 $ 时，$ y=|-3+x|+|12-2x|=x-3+2x-12=3x-15 $，当 $ x ＞ 6 $ 时，$ y ＞ 3 $。综上所述，点 A，B 到原点的距离之和的最小值为 3。