《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

1. 某水果店推出的一款水果拼盘套餐受到了广大消费者的喜爱，每天的销售量 $ y $（盒）与销售单价 $ x $（元）之间存在一次函数关系（如下表所示）。已知该水果拼盘套餐的成本为 $ 30 $ 元/盒。

(1) 求出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(2) 当销售单价为 $ 65 $ 元时，求当天的销售利润。（销售利润 $ = $ 销售额 $ - $ 成本）

答案： 1.解：
(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b.由题意，得$\begin{cases}40k+b=220,\\50k+b=200.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=300.\end{cases}$
∴y与x之间的关系式为y=-2x+300.
(2)由
(1)可知，当x=65时，y=-2×65+300=170，
∴65×170-30×170=5950(元).答：当销售单价为65元时，当天的销售利润为5950元.

2. 某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为 $ 6 $ 元/件。该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月($ 30 $ 天)的试销售，售价为 $ 8 $ 元/件。工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象(如图所示)，图中的折线 $ ODE $ 表示日销售量 $ y $(件)与销售时间 $ x $(天)之间的函数关系。已知线段 $ DE $ 表示的函数关系中时间每增加 $ 1 $ 天，日销售量减少 $ 5 $ 件。
(1) 第 $ 17 $ 天的日销售量是340件，日销售利润是680元。
(2) 求试销售期间日销售利润的最大值。

答案： 2.解：
(1)340 680
(2)根据图象易得，直线OD的表达式为y=20x，直线DE的表达式为y=-5x+450.联立$\begin{cases}y=20x,\\y=-5x+450,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=18,\\y=360.\end{cases}$
∴折线ODE的最高点D的坐标为(18,360).360×(8-6)=720(元)，
∴当x=18时，日销售利润最大，最大利润为720元.

3. (2023·吉林) 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变。合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务。甲、乙两组挖掘的长度之和 $ y $(m)与甲组挖掘时间 $ x $(天)之间的关系如图所示。
(1) 甲组比乙组多挖掘了30天。
(2) 求乙组停工后，$ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围。
(3) 当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数。

答案： 3.解：
(1)30
(2)设乙组停工后，y关于x的函数表达式为y=kx+b.
∵点(30,210)，(60,300)在图象上，
∴$\begin{cases}30k+b=210,\\60k+b=300.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3,\\b=120.\end{cases}$
∴y关于x的函数表达式为y=3x+120(30≤x≤60).
(3)10天.

4. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度 $ y $(m)与挖掘时间 $ x $(h)之间的函数关系如图所示。请根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1) 甲队在开挖后 $ 6 $ h 内，每小时挖10m。
(2) 当 $ 2 \leqslant x \leqslant 6 $ 时，求 $ y_{乙} $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。
(3) 直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差 $ 5 $ m。

答案： 4.解：
(1)10
(2)设当2≤x≤6时，y_Z与x之间的关系式为y_Z=kx+b(k≠0).
∵函数图象过点(2,30)，(6,50)，
∴$\begin{cases}2k+b=30,\\6k+b=50.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=5,\\b=20.\end{cases}$
∴当2≤x≤6时，y_Z与x之间的关系式为y_Z=5x+20.
(3)开挖后1h或3h或5h，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m.