《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

6. 暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下：
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠.
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠.
设某学生暑期健身次数为$x$（次），按照方案一所需费用为$y_{1}$（元），且$y_{1}=k_{1}x + b$；按照方案二所需费用为$y_{2}$（元），且$y_{2}=k_{2}x$. 其函数图象如图所示.
(1) 求$k_{1}$，$b$的值，并说明它们的实际意义.
(2) 求打折前的每次健身费用和$k_{2}$的值.
(3) 八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身$8$次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由.

答案： 6.解：
(1)根据题意，得$30 = b$，①$180 = 10k_1 + b$.② 把①代入②，得$k_1 = 15$.$k_1 = 15$表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，$b = 30$表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡的费用为30元.
(2)由题意可得，打折前的每次健身费用为$15÷0.6 = 25(元)$.$k_2 = 25×0.8 = 20$.
(3)选择方案一所需费用更少.理由如下：由
(1)
(2)可知，$y_1 = 15x + 30$，$y_2 = 20x$.当$x = 8$时，选择方案一所需费用：$y_1 = 15×8 + 30 = 150$；选择方案二所需费用：$y_2 = 20×8 = 160$.$150 ＜ 160$，选择方案一所需费用更少.

7. 为鼓励学生多读书，某图书馆针对学生推出两种新的借阅优惠方案：
甲方案：凭学生证免费办理借阅卡，充值超过$20$元时，超过多少送多少.
乙方案：凭学生证免费办理会员卡，充值每满$40$元再送$20$元.
设借阅时间为$x$（天），甲、乙两种方案每本书的借阅租金分别为$y_{1}$（元），$y_{2}$（元），$y_{1}$，$y_{2}$关于$x$的函数图象如图所示.
(1) 直接写出$y_{1}$，$y_{2}$与$x$之间的函数关系式.
(2) 请求出图中线段$AB$的长，并说明它的实际意义.
(3) 八年级学生小兰准备用$40$元钱在该图书馆借阅一本书，选择哪种方案更划算？说明理由.
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答案： 7.解：
(1)$y_1 = 0.3x + 20$，$y_2 = 0.5x$.
(2)当$x = 50$时，$y_1 = 0.3×50 + 20 = 35$，$y_2 = 0.5×50 = 25$.$\therefore AB = y_1 - y_2 = 10$.$AB$的实际意义是当借阅50天时，两种方案每本书的借用租金相差10元.
(3)选择甲方案更划算.理由如下：选择甲方案：借阅卡金额为$40 + (40 - 20) = 60(元)$.则$0.3x + 20 = 60$，解得$x = \frac {400} {3}$；选择乙方案：会员卡金额为$40 + 20 = 60(元)$.则$0.5x = 60$，解得$x = 120$.$\because \frac {400} {3} ＞ 120$，选择甲方案更划算.

8. 如图$1$，长为$60km$的某段线路$AB$上有甲、乙两车，分别从南站$A$和北站$B$同时出发相向而行，达到$B$，$A$后立马返回到出发站停止，速度均为$30km/h$，设甲车、乙车距南站$A$的路程分别为$y_{甲}$，$y_{乙}(km)$，行驶时间为$t(h)(t\geq0)$.

(1) 图$2$中已画出$y_{甲}$与$t$之间的函数图象，其中$a=$2，$b=$4.
(2) 在图$2$中补画$y_{乙}$与$t$之间的函数图象，求出$y_{乙}$与$t$之间的关系式(注明自变量的取值范围).
(3) 观察图象，直接写出在整个行驶过程中两车相遇的次数.

答案： 8.解：
(1)2 4
(2)补画$y_Z$与$t$之间的函数图象图略.当$0 \leq t \leq 2$时，设函数表达式为$y_Z = kx + m$，根据题意，得$60 = m$，①$0 = 2k + m$② 把①代入②，得$k = - 30$.$\therefore y_Z = - 30t + 60(0 \leq t \leq 2)$；当$2 ＜ t \leq 4$时，设函数表达式为$y_Z = 30t + n$.将(2,0)代入，得$2×30 + n = 0$，解得$n = - 60$.$\therefore y_Z = 30t - 60(2 ＜ t \leq 4)$. $\therefore y_Z = \begin{cases} - 30t + 60(0 \leq t \leq 2) \\ 30t - 60(2 ＜ t \leq 4) \end{cases}$.
(3)在整个行驶过程中两车相遇的次数为2.