《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

学习探究
探究平面直角坐标系中两点间的距离，设 $ P_{1}(x_{1},y_{1}) $，$ P_{2}(x_{2},y_{2}) $。
(1) 如图 1，当点 $ P_{1} $，$ P_{2} $ 的纵坐标相同时，$ P_{1}P_{2}= $$x_{2}-x_{1}$；当点 $ P_{1} $，$ P_{2} $ 的横坐标相同时，$ P_{1}P_{2}= $$y_{2}-y_{1}$。

(2) 如图 2，$ P_{1}C = x_{2} - x_{1} $，$ P_{2}C = y_{2} - y_{1} $，由勾股定理，得 $ P_{1}P_{2}= $$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。

答案： 学习探究
(1)$x_{2}-x_{1}\quad y_{2}-y_{1}$
@@学习探究
(2)$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

1. 在平面直角坐标系中，$ A $，$ B $ 两点的坐标分别为 $ (5,-1) $，$ (5,2) $，则 $ A $，$ B $ 两点间的距离为3。

答案： 实战演练1.3

2. 在平面直角坐标系中，已知点 $ P(1,-\sqrt{2}) $ 到原点的距离为(C)

A.1
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.3

答案： 实战演练2.C

3. 在平面直角坐标系中，点 $ A(1,2) $，$ B(-3,b) $，当线段 $ AB $ 最短时，线段 $ AB $ 的长为(C)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 实战演练3.C

4. 已知 $ \triangle ABC $ 各顶点的坐标分别为 $ A(-1,4) $，$ B(-3,1) $，$ C(1,1) $，请判定 $ \triangle ABC $ 的形状，并说明理由。

答案： 实战演练4. 解：$\triangle ABC$ 是等腰三角形，理由如下：$\because AB = \sqrt{(-1 + 3)^{2}+(4 - 1)^{2}} = \sqrt{13},BC = \sqrt{(-3 - 1)^{2}+(1 - 1)^{2}} = 4,AC = \sqrt{(-1 - 1)^{2}+(4 - 1)^{2}} = \sqrt{13},\therefore AB = AC,AB^{2}+AC^{2}\neq BC^{2}.\therefore\triangle ABC$为等腰三角形。

5. 如图，已知点 $ A(3,0) $，$ B(0,4) $，在 $ x $ 轴上找一点 $ C $，使 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形，求所有点 $ C $ 的坐标。

答案： 实战演练5. 解：设$C(x,0).\because A(3,0),B(0,4),\therefore AB = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5,AC = \sqrt{(3 - x)^{2}} = |3 - x|,BC = \sqrt{x^{2}+16}$。①当$AB = AC$时，$\triangle ABC$为等腰三角形。$\therefore|3 - x| = 5$，解得$x = -2$或$x = 8$。点$C$的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$。②当$AB = BC$时，$\triangle ABC$为等腰三角形。
$\therefore\sqrt{x^{2}+16} = 5$，解得$x = 3$或$x = -3$。当$x = 3$时，$A,C$两点重合，不合题意，舍去。$\therefore$点$C$的坐标为$(-3,0)$。③当$AC = BC$时，$\triangle ABC$为等腰三角形。$\therefore|3 - x| = \sqrt{x^{2}+16}$，解得$x = -\frac{7}{6}$。点$C$的坐标为$(-\frac{7}{6},0)$。综上所述，点$C$的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$或$(-3,0)$或$(-\frac{7}{6},0)$。