《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

14. 湖南师大附中校本经典题 某小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区。具体规划如图所示，其中A区和B区为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是$270m^2$和$120m^2$，则A区和B区的总面积为360$m^2$。

答案： 14.360

15. 计算：
(1) $\sqrt{2} × (\sqrt{32} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\sqrt{27} + \sqrt{12}}{\sqrt{3}}$。
(2) $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - 1)^2$。

答案： 15.解：
(1)原式$=\sqrt{64}-1-(\sqrt{9}+\sqrt{4})=8-1-(3+2)=7-5=2。$
(2)原式$=5-2-(5-2\sqrt{5}+1)=5-2-6+2\sqrt{5}=2\sqrt{5}-3。$

16. 新考向 阅读理解 阅读材料：
像$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 1$，$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a(a \geq 0)$这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式。在进行二次根式的运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号。数学课上，老师出了一道题：“已知$a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$，求$3a^2 - 6a - 1$的值。”
聪明的小明同学根据上述材料，作了这样的解答：
$\because a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$，
$\therefore a - 1 = \sqrt{2}$。$\therefore (a - 1)^2 = 2$。
$\therefore a^2 - 2a + 1 = 2$，即$a^2 - 2a = 1$。
$\therefore 3a^2 - 6a = 3$。
$\therefore 3a^2 - 6a - 1 = 3 - 1 = 2$。
请根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1) 化简：$\frac{1}{\sqrt{10} - 3} = $\sqrt{10}+3$$。
(2) 若$a = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$，求$2a^2 - 12a - 1$的值。

答案： 16.解：$(1)\sqrt{10}+3 (2)$
∵$a=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=3-2\sqrt{2},$
∴$a-3=-2\sqrt{2}。$
∴$(a-3)^2=8。$
∴$a^2-6a+9=8,$即$a^2-6a=-1。$
∴$2a^2-12a=-2。$
∴$2a^2-12a-1=-2-1=-3。$

1. (2024·甘南州)已知$x$，$y$为实数，若满足$y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 2$，则$x^y$的值为(D)

A.5
B.6
C.8
D.9

答案： 1.D

2. 已知$a$满足$|2024 - a| + \sqrt{a - 2025} = a$，则$a - 2024^2$的值为2025。

答案： 2.2025

3. (2024·成都)若$m$，$n$为实数，且$(m + 4)^2 + \sqrt{n - 5} = 0$，则$(m + n)^2$的值为1。

答案： 3.1

4. 代数式$3 - \sqrt{4 - x^2}$的最大值是3。

答案： 4.3

5. 若$a + \sqrt{a - 2} = 2$，求$\sqrt{a + 2}$的值。

答案： 5.解：
∵$a+\sqrt{a-2}=2,$
∴$\sqrt{a-2}=2-a。$
∵a-2≥0,2-a≥0,
∴a=2。
∴$\sqrt{a+2}=\sqrt{4}=2。$