《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

8. 对实数$a$，$b$作新定义：$a@b = ab$，$a※b = a^{b}$。在此定义下，计算：$(\sqrt{\frac{4}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}})@\sqrt{12}-(\sqrt{75}-4\sqrt{3})※2=$$1-3\sqrt{2}$。

答案： 8.$1-3\sqrt{2}$

9. 计算：
（1）$\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{8}$。
（2）$(3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48})÷2\sqrt{3}$。
（3）$(\sqrt{2}-6\sqrt{\frac{1}{12}})-(4\sqrt{\frac{1}{8}}-\frac{1}{2}\sqrt{75})$。

答案： 9.解：
(1)原式=$\frac{3}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.
(2)原式=$(3×2\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}=(6\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}+4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}=\frac{28\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}=\frac{14}{3}$.
(3)原式=$\sqrt{2}-6\sqrt{\frac{1}{12}}-4\sqrt{\frac{1}{8}}+\frac{1}{2}\sqrt{75}=\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

10. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，$\triangle ABC$的顶点$A$，$B$，$C$恰好在格点（网格线的交点）上。
（1）求$\triangle ABC$的周长。
（2）求$\triangle ABC$的面积。

答案： 10.解：
(1)根据题意，得$AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$,$BC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5$,$\therefore\triangle ABC$的周长为$AB+AC+BC=2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5+3\sqrt{5}$.
(2)$\because AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$,$\therefore BC^{2}=25$,$AB^{2}+AC^{2}=20+5=25$.$\therefore BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$.$\therefore\triangle ABC$是直角三角形,$\angle BAC=90^{\circ}$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$.

11. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务。
斐波那契（约1175 - 1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）。后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果。在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用。
斐波那契数列中的第$n$个数可以用$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]$表示（其中$n\geq1$），这是用无理数表示有理数的一个范例。
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数。

答案： 11.解：第1个数：当$n=1$时,$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2})=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}=1$.第2个数：当$n=2$时,$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2}]=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{1+\sqrt{5}+5-1+2\sqrt{5}-5}{4}=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}=1$.