《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

1. 如图，$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别为$A(4,2)$，$B(-2,0)$，$C(1,0)$，则$\triangle ABC$的面积为____。

答案： 1.3

2. 如图，$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别为$A(4,2)$，$B(4,6)$，$C(-1,3)$，则$\triangle ABC$的面积为____。

答案： 2.10

3. 如图，已知点$A(-3,1)$，$B(1,-3)$，$C(3,4)$，求$\triangle ABC$的面积。

答案： 3.解:过点A作EF//y轴，过点B作FG//x轴，交EF于点F，过点C作CG⊥FG于点G,CE⊥EF于点$E.S_{\triangle ABC}=S_{长方形EFGC}-S_{\triangle AEC}-S_{\triangle AFB}-S_{\triangle BGC}=6×7-\frac{1}{2}×3×6-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}× $
2×7=42-9-8-7=18.

4. (教材P73复习题T8变式)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形$OABC$各顶点的坐标分别是$O(0,0)$，$A(-4,10)$，$B(-12,8)$，$C(-14,0)$，求四边形$OABC$的面积。

答案： 4.解:过点A作AD⊥x轴，垂足为D,过点B作BE⊥x轴，垂足为E,则D(-4,0),E(-12,0).又
∵A(-4,10),B(-12,8),
C(-14,0),
∴BE=8,AD=10,OD=4,DE=8,CE=2.
∴$S_{四边形OABC}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BCE}+S_{梯形ABED}=\frac{1}{2}OD·AD+\frac{1}{2}CE· $
$BE+\frac{1}{2}(BE+AD)·DE=\frac{1}{2}×4×10+\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8 $
+10)×8=100.

5. 如图，在平面直角坐标系中，已知$A(a,0)$，$B(b,0)$，其中$a$，$b$满足$\sqrt{a + 1}+(b - 3)^2 = 0$。
(1)填空：$a =$-1，$b =$3。
(2)若在第三象限内有一点$M(-2,m)$，用含$m$的式子表示$\triangle ABM$的面积为-2m。
(3)在(2)的条件下，线段$BM$与$y$轴相交于点$C(0,-\frac{9}{10})$，当$m = -\frac{3}{2}$时，点$P$是$y$轴上的动点，当满足$\triangle PBM$的面积是$\triangle ABM$的面积的$2$倍时，求点$P$的坐标。
备用图

答案： 5.解：
(1)-1 3
(2)-2m
(3)当$m=-\frac{3}{2}$时，$M(-2,-\frac{3}{2}), $
$S_{\triangle ABM}=-2m=-2×(-\frac{3}{2})=3,$
∴$S_{\triangle PBM}=2S_{\triangle ABM}=6. $
∵$S_{\triangle PBM}=S_{\triangle MPC}+S_{\triangle BPC},$
∴$\frac{1}{2}PC×2+\frac{1}{2}PC×3=6，$解得
$PC=\frac{12}{5}$
∴$C(0,-\frac{9}{10}),$
∴点P的纵坐标为$-\frac{9}{10}-\frac{12}{5}=-\frac{33}{10} $
或$-\frac{9}{10}+\frac{12}{5}=\frac{3}{2}.$
∴点P的坐标为$(0,-\frac{33}{10})$或$(0,\frac{3}{2}).$