《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

10. 在Rt△ABC中，斜边$BC = 10$，则$BC^{2}+AB^{2}+AC^{2}=$(C)

A.20
B.100
C.200
D.144

答案： 10.C

11. 如图，在Rt△ABC中，若$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，则点C到直线AB的距离为(D)

A.3
B.4
C.5
D.2.4

答案： 11.D

12. (教材P9习题T6变式)已知等腰三角形的腰长为5cm，底边上的中线长为4cm，则它的面积是(D)

A.$24$ $cm^{2}$
B.$20$ $cm^{2}$
C.$15$ $cm^{2}$
D.$12$ $cm^{2}$

答案： 12.D

13. 如图所示的是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的面积分别是4，6，2，4，则最大正方形E的面积是(C)

A.12
B.14
C.16
D.18

答案： 13.C

14. 如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD上任意一点，则$PB^{2}-PA^{2}$的值为12.

答案： 14.12

15. 如图，在四边形草坪ABCD中，$\angle B=\angle D = 90^{\circ}$.若$AB = 20$m，$BC = 15$m，$CD = 7$m，求这块草坪ABCD的面积.

答案： 15.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=625=25^{2}$.
∴AC=25m.在Rt△ADC中，由勾股定理，得$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，
∴$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=24^{2}$.
∴AD=24m.
∴$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AB·BC+\frac{1}{2}AD·CD=\frac{1}{2}×20×15+\frac{1}{2}×24×7=234(m^{2})$.
∴这块草坪ABCD的面积为234$m^{2}$.

16. 人大附中校本经典题根据勾股定理知识迁移，解答下列问题.
（1）如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，求它们的面积$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$之间满足的等量关系.
（2）应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，分别以三边为直径作半圆.若$a = 3$，$c = 5$，求图中阴影部分的面积.

答案： 16.解：
(1)设$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$分别对应直径为a，b，c，根据勾股定理，得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.由图，得$S_{1}=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^{2}=\frac{\pi}{8}a^{2}$，同理可得，$S_{2}=\frac{\pi}{8}b^{2}$，$S_{3}=\frac{\pi}{8}c^{2}$，
∴$S_{1}+S_{2}=\frac{\pi}{8}a^{2}+\frac{\pi}{8}b^{2}=\frac{\pi}{8}(a^{2}+b^{2})=\frac{\pi}{8}c^{2}=S_{3}$.
(2)设以a，b，c为直径的三个半圆的面积分别为P，Q，R，以a，b为直角边的直角三角形的面积为$S_{4}$.
∵a=3，c=5，
∴$b^{2}=c^{2}-a^{2}=5^{2}-3^{2}=16=4^{2}$.
∴b=4.
∴$S_{4}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×4=6$.由
(1)知，P+Q=R，
∴阴影部分的面积为S=P+Q+$S_{4}$-R=$S_{4}$=6.