《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

2. 如图，直线$y = 2x - 2$与$x$轴交于点$B$，直线$y=\frac{1}{2}x + 1$与$y$轴交于点$C$，这两条直线相交于点$A(2,a)$。求：
(1)点$A$，$B$，$C$的坐标。
(2)四边形$ABOC$的面积。

答案：
(1)点$A$的坐标为$(2,2)$，点$B$的坐标为$(1,0)$，点$C$的坐标为$(0,1)$；
(2)$2$

【例3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y = kx + 9$的图象与$y$轴相交于点$A$，与$x$轴相交于点$C$，并与直线$y=\frac{5}{3}x$相交于点$B$，其中点$B$的横坐标为$3$。
(1)求点$B$的坐标和$k$的值。
(2)$Q$为直线$y = kx + 9$上一动点，当点$Q$运动到何位置时，$\triangle OBQ$的面积等于$\frac{27}{4}$？请求出点$Q$的坐标。

答案：
(1)点$B$的坐标为$(3,5)$，$k = - \frac{4}{3}$；
(2)点$Q$的坐标为$(\frac{9}{2},3)$或$(\frac{3}{2},7)$

3. 在平面直角坐标系$xOy$中，经过点$(1,2)$的直线$y = kx + b$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$。
(1)当$b = 3$时，求$k$的值以及点$A$的坐标。
(2)若$k = b$，$P$是该直线上一点，当$\triangle OPA$的面积等于$\triangle OAB$面积的$2$倍时，求点$P$的坐标。

答案：
(1)$k = - 1$，点$A$的坐标为$(3,0)$；
(2)点$P$的坐标为$(1,2)$或$(-3, - 2)$