《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

15.已知点$A(a - 1,b + 2)$，$B(3,4)$，$C(-1,-2)$在同一个平面直角坐标系中，且$AB$所在的直线平行于$x$轴，$AC$所在的直线平行于$y$轴，则$a + b =$2.

答案： 15.2

16.如图，在以点$O$为原点的平面直角坐标系中，点$A$，$B$的坐标分别为$(a,0)$，$(a,b)$，点$C$在$y$轴上，且$BC// x$轴，$a$，$b$满足$|a - 3| + \sqrt{b - 4} = 0$.点$P$从原点出发，以$1$个单位长度/秒的速度沿着$O - A - B - C - O$的路线运动(回到点$O$为止).
(1)直接写出点$A$，$B$，$C$的坐标.
(2)当点$P$运动$5$秒时，求出点$P$的坐标.

(3)点$P$运动$t$秒后($t \neq 0$)，是否存在点$P$到$x$轴的距离为$\frac{1}{2}t$个单位长度的情况. 若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
16.解：
(1)A(3,0)，B(3,4)，C(0,4).
(2)当P运动5秒时，点P运动了1×5 = 5个单位长度.
∵AO = 3，AB = 4，
∴点P运动5秒时，点P在线段AB上.
∵AP = 5－3 = 2，
∴点P的坐标是(3，2).
(3)存在.如图.
∵t≠0，
∴点P可能运动到AB或BC或OC上.
①当点P运动到AB上，即0＜t≤7时，P₁A = t－OA = t－3，
∴t－3 = $\frac{1}{2}$t，解得t = 6.
∴P₁A = 1×6－3 = 3.
∴点P₁的坐标为(3,3);
②当点P运动到BC上，即7＜t≤10时，点P₂到x轴的距离为4，
∴$\frac{1}{2}$t = 4，解得t = 8.
∴P₂C = 3 + 4 + 3－1×8 = 2.
∴点P₂的坐标为(2,4);
③当点P运动到OC上，即10＜t≤14时，P₂O = OA + AB + BC + OC－t = 14－t，
∴14－t = $\frac{1}{2}$t，解得t = $\frac{28}{3}$.
∵$\frac{28}{3}$＜10，
∴此情况不符合题意，舍去.
综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}$t个单位长度的情况，点P的坐标为(3,3)或(2,4).

【例】 若点$M(5 + a,a - 3)$在第二、四象限的角平分线上，则$a =$—1.
分析：在第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，由此，利用相反数的概念列一元一次方程即可得解.

答案： 【例】 —1

1.在平面直角坐标系中，若点$P(2m - 3,3m - 1)$在第一、三象限的角平分线上，则点$P$的坐标为(－7,－7).

答案： 1.(－7,－7)

2.如图，在$x$轴、$y$轴上分别截取$OA$，$OB$，使$OA = OB$，再分别以点$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧相交于点$P$.若点$P$的坐标为$(a,2a - 3)$，则$a$的值为3.

答案： 2.3

3.已知点$P(2a + 5,10 - 3a)$位于两坐标轴所成角的平分线上，则点$P$的坐标为(7,7)或(35,－35).

答案： 3.(7,7)或(35,－35)