《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

12. 将直角三角形三条边的长度同时扩大相同的倍数后得到的三角形(A)

A.仍是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形

答案： 12.A

13. $\triangle ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，下列条件：①$\angle A=\angle B-\angle C$；②$\angle A:\angle B:\angle C = 3:4:5$；③$a^{2}=(b + c)(b - c)$；④$a:b:c = 5:12:13$.其中能判定$\triangle ABC$是直角三角形的有(C)

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： 13.C

14. 新考向 数学文化勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为$2$的一类勾股数，如：$6$，$8$，$10$；$8$，$15$，$17\cdots\cdots$若此类勾股数的勾为$10$，则其弦是26.

答案： 14.26

15. 如图，正方形$ABCD$由$9$个边长为$1$的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接$AE$，$AF$，则$\angle EAF=$45$^{\circ}$.

答案： 15.45

16. 图$1$是某品牌婴儿车，图$2$为其简化结构示意图.根据安全标准需满足$BC\perp CD$，现测得$AB = CD = 6dm$，$BC = 3dm$，$AD = 9dm$，其中$AB$与$BD$之间由一个固定为$90^{\circ}$的零件连接（即$\angle ABD = 90^{\circ}$），通过计算说明该车是否符合安全标准.

答案： 16.解：在$Rt\triangle ABD$中,$BD^{2}=AD^{2}-AB^{2}=9^{2}-6^{2}=45$,在$\triangle BCD$中,$BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=45,\therefore BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}.\therefore\angle BCD = 90^{\circ}.\therefore BC\perp CD$.故该车符合安全标准.

17. 新考向 推理能力 $A$清华附中校本经典题我们在课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察：$3$，$4$，$5$；$5$，$12$，$13$；$7$，$24$，$25$；$9$，$40$，$41\cdots\cdots$学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从$3$起就没有间断，于是王老师提出以下问题让学生解决.
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：$11$，60，61.
(2)若第一个数用字母$a$($a$为奇数，且$a\geqslant3$)表示，则后两个数用含$a$的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：$4=\dfrac{3^{2}-1}{2}$，$12=\dfrac{5^{2}-1}{2}$，$24=\dfrac{7^{2}-1}{2}\cdots\cdots$于是他很快表示出了第二个数为$\dfrac{a^{2}-1}{2}$，则用含$a$的代数式表示第三个数为$\frac{a^{2}+1}{2}$.
(3)用所学知识说明(2)中用字母$a$表示的三个数是勾股数.

答案： 17.解：
(1)60 61
(2)$\frac{a^{2}+1}{2}$
(3)$\because a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=a^{4}+2a^{2}+1,\frac{a^{2}+1}{2})^{2}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4},\therefore a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}$.又$\because a$为奇数，且$a\geqslant3,\therefore a,\frac{a^{2}-1}{2},\frac{a^{2}+1}{2}$都是正整数.$\therefore a,\frac{a^{2}-1}{2},\frac{a^{2}+1}{2}$是勾股数.