《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

11. 清华附中校本经典题 若$\sqrt{24n}$是整数，则满足条件的最小正整数$n$的值为6.

答案： 11.6

12. 要使算式$3\sqrt{2}○\sqrt{8}$的运算结果最小，则$○$中应添加的运算符号是(B)

A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$

答案： 12.B

13. 若$a+\sqrt{12}=\sqrt{27}$，则表示实数$a$的点会落在数轴的(B)


A.段①上
B.段②上
C.段③上
D.段④上

答案： 13.B

14. 若$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{8}$，则$a$和$b$的值不可能是(D)

A.$a=2,b=2$
B.$a=\frac{1}{2},b=\frac{9}{2}$
C.$a=0,b=8$
D.$a=4,b=2$

答案： 14.D

15. 计算：
(1)$\sqrt{18}-4\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{24}÷\sqrt{3}$.
(2)$\sqrt{48}÷\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}-\sqrt{24}$.

答案： 15.解：
(1)原式=$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{24 ÷ 3}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}$.
(2)原式=$\sqrt{48 ÷ 3}+\sqrt{\frac{1}{2} × 12}-2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}-2\sqrt{6}=4-\sqrt{6}$.

16. 湖南师大附中校本经典题 如图，这是某土楼的平面示意图，它由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为$763.02\mathrm{m}^2$和$150.72\mathrm{m}^2$，求圆环的宽度$d$（$\pi$取$3.14$）.

答案： 16.解：设大圆和小圆的半径分别为$R$,$r$,面积分别为$S_1$,$S_2$.由$S_1=\pi R^2$,$S_2=\pi r^2$可知，$R=\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}$,$r=\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}$,$\therefore d=R-r=\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}-\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}≈\sqrt{243}-\sqrt{48}=9\sqrt{3}-4\sqrt{3}=5\sqrt{3}(m)$.

17. 新考向 推理能力 小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的思想探究下面二次根式的运算规律.下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例1：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{3+1}{3}}=\sqrt{4×\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
特例2：$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{8+1}{4}}=\sqrt{9×\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
特例3：$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$；
特例4：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$.(填写一个符合上述运算特征的例子)
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果$n$为正整数，用含$n$的代数式表示上述特例的运算规律：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$.
(3)请说明(2)中猜想的正确性.
(4)应用运算规律计算：$\sqrt{2024+\frac{1}{2026}}×\sqrt{4052}$.

答案： 17.解：
(1)$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
(3)等式左边=$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}=$等式右边.
(4)原式=$2025\sqrt{\frac{1}{2026}} × \sqrt{2 × 2026}=2025\sqrt{2}$.