《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务.
勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法.
赵爽利用 4 个全等的直角三角形拼成如图 1 所示的“弦图”(史称“赵爽弦图”)，其中 $ a $，$ b $ 和 $ c $ 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形 $ ABDE $ 和四边形 $ CFGH $ 是正方形.
达·芬奇用如图 2 所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由 2 个正方形和 2 个全等的直角三角形组成，面积记为 $ S_{1} $；剪开翻转后的空白部分由 2 个全等的直角三角形和 1 个正方形组成，面积记为 $ S_{2} $.

任务：
(1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整.
证明：由图 1，知 $ S_{正方形ABDE} = 4S_{\triangle ABC} + S_{正方形CFGH} $，正方形 $ CFGH $ 的边长为 a - b.
$\because S_{正方形ABDE} = c^{2}$，$ S_{\triangle ABC} = $$\frac{1}{2}ab$，$ S_{正方形CFGH} = $$(a - b)^2$，
$\therefore c^{2} = 4 × \frac{1}{2}ab + (a - b)^{2} = 2ab + a^{2} - 2ab + b^{2} $，即 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $.
(2)请你参照小颖的验证过程，利用图 2 及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程.
(3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”. 实际上，初中数学还有一些代数恒等式(除上述涉及的)也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式.

答案：

(1)$a - b$，$\frac{1}{2}ab$，$(a - b)^2$
(2)根据题意，得$S_1 = a^2 + b^2 + 2 × \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$，$S_2 = c^2 + 2 × \frac{1}{2}ab = c^2 + ab$。
$\because S_1 = S_2$，$\therefore a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$，即$a^2 + b^2 = c^2$。
(3)$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，图形如图所示。(答案不唯一)