《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

为什么说$\sqrt{2}$不是有理数.
(1)【阅读与思考】
假设$\sqrt{2}$是有理数,那么$\sqrt{2}$可以写成两个整数$p,q$的比$\frac{p}{q}$($p,q$互质),于是有$(\frac{p}{q})^{2}=2,p^{2}=$2q^{2}.
因此,$p^{2}$是偶数,$p$是偶数.
于是可设$p = 2m$,那么$p^{2}=$4m^{2}$=2q^{2},q^{2}=$2m^{2}.
这就是说,$q^{2}$是偶数,$q$也是偶数.这与“$p,q$是互质的两个整数”的假设矛盾.
这个矛盾说明,$\sqrt{2}$不能写成分数的形式,即$\sqrt{2}$不是有理数.
(2)【运用并解决】
类比上述的【阅读与思考】,推理说明:
①$\sqrt{3}$不是有理数.
②$\sqrt[3]{6}$不是有理数.

答案：
(1)$2q^{2}$ $4m^{2}$ $2m^{2}$
(2)①假设$\sqrt{3}$是有理数，则$\sqrt{3}$可以写成两个整数$m,n$的比$\frac {m}{n}(m,n$互质$)$，于是有$(\frac {m}{n})^{2}=3,m^{2}=3n^{2}$.因此，$m^{2}$是3的倍数,$m$是3的倍数.于是可设$m=3t$,那么$m^{2}=9t^{2}=3n^{2}$,$n^{2}=3t^{2}$.这就是说，$n^{2}$是3的倍数，$n$也是有理数.这与“$m,n$是互质的两个整数”的假设矛盾.这个矛盾说明，$\sqrt{3}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{3}$不是有理数. ②假设$\sqrt[3]{6}$是有理数，则$\sqrt[3]{6}$可以写成两个整数$a,b$的比$\frac {a}{b}(a,b$互质$)$，于是有$(\frac {a}{b})^{3}=6,a^{3}=6b^{3}$.因此，$a^{3}$是偶数，$a$是偶数.于是可设$a=2s$，那么$a^{3}=8s^{3}=6b^{3}$，$3b^{3}=4s^{3}$.这就是说，$3b^{3}$是偶数，$b^{3}$是偶数，$b$也是偶数.这与“$a,b$是互质的两个整数”的假设矛盾.这个矛盾说明，$\sqrt[3]{6}$不能写成分数的形式，即$\sqrt[3]{6}$不是有理数.