《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

1. 一块长方形菜园，长是宽的 3 倍，如果长减少 3 米，宽增加 4 米，那么这个长方形就变成一个正方形. 设这个长方形菜园的长为 $ x $ 米，宽为 $ y $ 米，根据题意，得(B)

A.$\begin{cases}x = 3y,\\x + 3 = y - 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 3y,\\x - 3 = y + 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x = y,\\x - 3 = y + 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x = y,\\x + 3 = y - 4\end{cases}$

答案： 1.B

2. 在长为 $ 10\ m $，宽为 $ 8\ m $ 的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则小长方形花圃的长和宽分别为多少米？

答案： 2.解：设小长方形花圃的长为$x$m，宽为$y$m.根据题意，得$\begin{cases}2x + y = 10,\\x + 2y = 8.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 4,\\y = 2.\end{cases}$答：小长方形花圃的长为4m，宽为2m.

3. 某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小、形状完全相同的 8 块小长方形试验田组成，如图所示. 经测量，该实践基地的宽为 $ 60\ m $，请计算该实践基地的面积.

答案： 3.解：设小长方形的长为$x$m，宽为$y$m.由题意，得$\begin{cases}x + y = 60,\\2x = x + 3y.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 45,\\y = 15.\end{cases}$
∵大长方形的长为$2x = 2×45 = 90(m)$，宽为60m，
∴大长方形的面积为$90×60 = 5400(m^{2})$.
答：该实践基地的面积为$5400m^{2}$.

4. 某铁路桥长 $ 1000\ m $，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了 $ 1\ min $，整列火车完全在桥上的时间共 $ 40\ s $.
(1) 火车从开始上桥到完全过桥的过程如图所示，请仿照下图用线段图表示火车完全在桥上的过程.
(2) 由图 1 可得到等量关系：火车从开始上桥到完全过桥所走路程 $ = $ 桥长 $ + $ 火车的长度；由(1)中所作图形可得到等量关系：火车完全在桥上所走路程 $ = $ 桥长一火车的长度，设火车的速度为 $ x\ m/s $，火车的长度为 $ y\ m $，求 $ x $，$ y $ 的值.

答案： 4.解：
(1)图略.
(2)桥长一火车的长度 由题意，得$\begin{cases}60x = 1000 + y,\\40x = 1000 - y.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 20,\\y = 200.\end{cases}$
∴$x$，$y$的值分别为20，200.

5. (教材 P125 新增练习 T1 变式)一辆汽车从 A 地驶往 B 地，前 $\frac{1}{3}$ 的路段为普通公路，其余路段为高速公路. 已知汽车在普通公路上行驶的速度为 $ 60\ km/h $，在高速公路上行驶的速度为 $ 100\ km/h $，汽车从 A 地到 B 地共行驶 $ 2.2\ h $. 求 A 地到 B 地的路程.

答案： 5.解：设A地到B地的普通公路长$x$km，高速公路长$y$km.根据题意，得$\begin{cases}y = 2x,\frac{x}{60} + \frac{y}{100} = 2.2.\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 60,\\y = 120.\end{cases}$
∴$x + y = 180$.
答：A地到B地的路程是180km.