《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

【例 1】如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 6，EF 为 AB 的垂直平分线，求 AE 的长。
解题思路：连接 BE，设 AE = x，则 BE = x，CE = 10 - x。
根据勾股定理，得 CE² + BC² = BE²，
可列方程为$(10 - x)^{2} + 6^{2} = x^{2}$。
解得 x = $\frac{34}{5}$。

答案： 【例1】 $10 - x$ $(10 - x)^{2} + 6^{2} = x^{2}$ $\frac{34}{5}$

1. (2023·随州)如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 6，D 为 AC 上一点。若 BD 是∠ABC 的平分线，则 AD = 5。

答案： 1.5

【例 2】如图，在△ABC 中，AB = 15，BC = 14，AC = 13，AD⊥BC，求 BD 的长。
解题思路：设 BD = x，则 CD = 14 - x。
根据勾股定理，得 AD² = AB² - BD² = AC² - CD²，可列方程为$15^{2} - x^{2} = 13^{2} - (14 - x)^{2}$。
解得 x = 9。

答案： 【例2】 $14 - x$ $15^{2} - x^{2} = 13^{2} - (14 - x)^{2}$ $9$

2. 如图，在△ABC 中，BC = 4，AC = 13，AB = 15，求△ABC 的面积。

答案： 2.解：过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$.设$CD = x$，则$BD = 4 + x$.$\because AC^{2} - CD^{2} = AB^{2} - BD^{2}$，$\therefore 13^{2} - x^{2} = 15^{2} - (4 + x)^{2}$，解得$x = 5$.
$\therefore AD = \sqrt{AC^{2} - CD^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$.$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AD = 24$.

3. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点 D，BD = 2，CD = 4，求 AD 的长。

答案： 3.解：设$AD = x$.在$Rt\triangle ACD$中，$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2} = x^{2} + 4^{2}$，在$Rt\triangle BCD$中，$BC^{2} = CD^{2} + BD^{2} = 4^{2} + 2^{2}$，在$Rt\triangle ABC$中，$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$，即$x^{2} + 4^{2} + 4^{2} + 2^{2} = (x + 2)^{2}$，解得$x = 8$.