《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版内蒙古专版》

12. 若正比例函数的图象经过点$(4,-5)$，则这个图象必经过点(D)

A.$(-5,-4)$
B.$(4,5)$
C.$(5,-4)$
D.$(-4,5)$

答案： 12.D

13. 若点$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$在正比例函数$y = mx$的图象上，且当$x_1 ＜ x_2$时，$y_1 ＞ y_2$，则$m$的值可以是(D)

A.$2$
B.$0$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\sqrt{3}-2$

答案： 13.D

14. 我们知道，通过列表、描点、连线可以画出一个函数的图象. 在画完函数$y = 2x$的图象后，何老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数$y = 2x$的图象经过第一、三象限吗?”聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当$x ＞ 0$时，$y = 2x ＞ 0$，此时描出的点都在第一象限；当$x ＜ 0$时，$y = 2x ＜ 0$，此时描出的点都在第三象限. 所以函数$y = 2x$的图象一定经过第一、三象限.”大家不禁为善于思考的小亮鼓掌. 最后何老师又给大家留了一道思考题：下面四个图象中哪个是函数$y=\sqrt{x}$的图象(C)

答案： 14.C

15. 若$k ＞ 0$，$x ＞ 0$，则关于函数$y = kx$的结论：①$y$随$x$的增大而增大；②$y$随$x$的增大而减小；③$y$恒为正数；④$y$恒为负数. 其中正确的是①③.(填序号)

答案： 15.①③

16. 已知$y - 2$与$3x - 4$成正比例，且当$x = 2$时，$y = 3$.
(1)写出$y$与$x$之间的关系式.
(2)若点$P(a,-3)$在这个函数的图象上，求$a$的值.
(3)若$y$的取值范围为$-1\leq y\leq1$，求$x$的最小值.

答案： 16.解：
(1)由题意,设$y - 2 = k(3x - 4)$.将$x = 2,y = 3$代入,得$2k = 1$,解得$k = \frac {1} {2}.\therefore y - 2 = \frac {1} {2}(3x - 4)$,即$y = \frac {3} {2}x$.
(2)将点P(a,−3)代入$y = \frac {3} {2}x$,得$\frac {3} {2}a = -3$,解得$a = -2$.
(3)在$y = \frac {3} {2}x$中,$\because \frac {3} {2} ＞ 0,\therefore y$随x的增大而增大.$\therefore$当x取最小值时,y值最小.当$y = -1$时,$\frac {3} {2}x = -1$,解得$x = -\frac {2} {3}.\therefore x$的最小值为$-\frac {2} {3}$.

17. 如图，已知正比例函数$y = kx$的图象经过点$A$，点$A$在第四象限，过点$A$作$AH\perp x$轴，垂足为$H$，点$A$的横坐标为$3$，且$\triangle AOH$的面积为$3$.
(1)求正比例函数的表达式.
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$，使$\triangle AOP$的面积为$5$? 若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)已知点$Q$在$x$轴上，若$\triangle AOQ$是以$AO$为腰的等腰三角形，则点$Q$的坐标为($\sqrt {13},0$)或($-\sqrt {13},0$)或(6,0).

答案： 17.解：
(1)$\because$点A的横坐标为3,且$\triangle AOH$的面积为3,$\therefore$点A的纵坐标为−2.$\because$点A的坐标为(3,−2).$\because$正比例函数$y = kx$的图象经过点A,$\therefore$将点A(3,−2)代入$y = kx$,得$3k = -2$,解得$k = -\frac {2} {3}.\therefore$正比例函数的表达式为$y = -\frac {2} {3}x$.
(2)存在.理由如下：$\because S_{\triangle AOP} = 5,\therefore \frac {1} {2}OP\cdot AH = 5$.又$\because AH = 2,\therefore OP = 5.\therefore$点P的坐标为(5,0)或(−5,0).
(3)($\sqrt {13},0$)或($-\sqrt {13},0$)或(6,0)