《2025年实验班提优训练七年级数学上册人教版》

9. 下列等式变形：①若 $ a = b $,则 $ a + x = b + x $；②若 $ ax = -ay $,则 $ x = -y $；③若 $ 4a = 3b $,则 $ 4a - 3b = 1 $；④若 $ \frac{a}{b}= \frac{3}{4} $,则 $ 4a = 3b $；⑤若 $ \frac{2x}{m}= \frac{3y}{m} $,则 $ 2x = 3y $. 其中一定正确是①④⑤.(填正确的序号)

答案： 9.①④⑤ ［解析］
∵$a=b$,
∴$a+x=b+x$,符合等式性质 1.故①符合题意；
∵$ax=-ay$,$a≠0$,
∴$x=-y$.故②不符合题意；
∵$4a=3b$,
∴$4a-3b=0$.故③不符合题意；
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$,
∴$4a=3b$,符合等式性质 2.故④符合题意；
∵$\frac{2x}{m}=\frac{3y}{m}$,
∴$2x=3y$,符合等式性质 2.故⑤符合题意. 思路引导 本题考查的是等式的性质,运用等式的性质时,等式两边必须同时进行变形.根据等式的基本性质逐一判断即可.

10. 有下列条件：① $ a - 4 = b - 4 $；② $ ac = bc $；③ $ 3a - 6 = 3b - 6 $；④ $ a^{2}= b^{2} $；⑤ $ \frac{a}{c^{2}}= \frac{b}{c^{2}} $. 其中可以得到 $ a = b $ 的条件有①③⑤.(填序号)

答案： 10.①③⑤ ［解析］$a-4=b-4$,两边同时加上 4 得$a=b$,则①符合题意;$ac=bc$,当$c=0$时,$a$与$b$不一定相等,则②不符合题意;$3a-6=3b-6$,两边同时加上 6 再同时除以 3 得$a=b$,则③符合题意;$a^{2}=b^{2}$,那么$a=\pm b$,则④不符合题意;$\frac{a}{c^{2}}=\frac{b}{c^{2}}$,两边同时乘$c^{2}$得$a=b$,则⑤符合题意. 归纳总结 本题考查等式的性质,熟练掌握其性质是解题的关键.

11. 在将等式 $ 3x - 2y = 2x - 2y $ 变形时,小明的变形过程如下：
因为 $ 3x - 2y = 2x - 2y $,
所以 $ 3x = 2x $,(第一步)
所以 $ 3 = 2 $.(第二步)
(1)上述过程中,第一步的依据是什么？
(2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因.

答案： 11.
(1)
∵$3x-2y=2x-2y$,
∴根据等式的性质 1,两边都加上$2y$,得$3x=2x$,
∴第一步的依据是等式的性质 1.
(2)小明第二步的结论不正确.理由如下:
∵根据等式的性质 2,等式两边同时除以不为 0 的两个数,等式仍然成立,
∴当$x=0$时,等式的两边都除以$x$,等式不成立,
∴小明第二步的结论不正确. 素养考向 此题考查了等式性质的应用能力,关键是能准确理解并运用该知识.

12. 若 $ a - b ＞ 0 $,则 $ a ＞ b $；若 $ a - b = 0 $,则 $ a = b $；若 $ a - b ＜ 0 $,则 $ a ＜ b $,这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小.
(1)试比较代数式 $ 5m^{2} - 4m + 2 $ 与 $ 4m^{2} - 4m - 7 $ 的值之间的大小关系；
(2)已知代数式 $ 3a + 2b $ 与 $ 2a + 3b $ 相等,试用等式的性质比较 $ a $,$ b $ 的大小关系；
(3)已知 $ \frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n - 1 = \frac{1}{2}n - \frac{1}{3}m $,试用等式的性质比较 $ m $,$ n $ 的大小关系.

答案： 12.
(1)把两个多项式作差比较大小即可，$(5m^{2}-4m+2)-(4m^{2}-4m-7)=5m^{2}-4m+2-4m^{2}+4m+7=m^{2}+9$.
∵不论$m$为何值,都有$m^{2}+9＞0$.
∴$5m^{2}-4m+2＞4m^{2}-4m-7$.
(2)
∵$3a+2b=2a+3b$,
∴等式两边同时减去$(2a+3b)$,得$3a+2b-(2a+3b)=0$,整理得$a-b=0$,
∴$a=b$.
(3)
∵$\frac{1}{2}m-\frac{1}{3}n-1=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}m$,根据等式的性质 2,两边同时乘 6 可得$3m-2n-6=3n-2m$,整理得$5m-5n=6$,即$5(m-n)=6$,
∴$m-n＞0$,
∴$m＞n$. 解后反思 本题主要考查了等式的性质和不等式的性质,正确理解题意是解题的关键.

13. 阅读下列材料：
问题：怎样将 $ 0.\dot{8} $ 表示成分数？
小明的探究过程如下：
设 $ x = 0.\dot{8} $①,$ 10x = 10×0.\dot{8} $②,$ 10x = 8.\dot{8} $③,$ 10x = 8 + 0.\dot{8} $④,$ 10x = 8 + x $⑤,$ 9x = 8 $⑥,$ x = \frac{8}{9} $⑦.
根据以上信息,回答下列问题：
(1)从步骤①到步骤②,变形的依据是等式的性质 2；从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是等式的性质 1；
(2)仿照上述探求过程,请你将 $ 0.\dot{3}\dot{6} $ 表示成分数的形式.
设$0.\dot{3}\dot{6}=x$,$100x=100×0.\dot{3}\dot{6}$,$100x=36.\dot{3}\dot{6}$,$100x=36+x$,$99x=36$,$x=\frac{4}{11}$.

答案： 13.
(1)等式的性质 2 等式的性质 1
(2)设$0.\dot{3}\dot{6}=x$,$100x=100×0.\dot{3}\dot{6}$,$100x=36.\dot{3}\dot{6}$,$100x=36+x$,$99x=36$,$x=\frac{4}{11}$.