《2025年实验班提优训练七年级数学上册人教版》

10. 中考新考法 新定义问题 (2025·浙江湖州长兴期末改编)定义一种新运算“$\oplus$”:$a\oplus b = a - 2b$,例如:$2\oplus(-3) = 2 - 2×(-3) = 2 + 6 = 8$.
(1)求$(-2)\oplus3$的值;
(2)若$5\oplus(x + 1) = 1$,求$x$的值.

答案：
(1)(-2)⊕3 = - 2 - 2×3 = - 2 - 6 = - 8.
(2)5⊕(x + 1) = 1,
5 - 2(x + 1) = 1,
去括号,得5 - 2x - 2 = 1,
移项,得 - 2x = - 2,
解得x = 1.

11. (2025·江苏无锡锡山区期末)已知关于$x的方程\frac{1}{2}(1 - x) = k + 1的解与方程\frac{2}{5}(3x + 2) = \frac{k}{10} + \frac{3}{2}(x - 1)$的解互为相反数,求$k$的值.

答案： 解方程1/2(1 - x) = k + 1,得x = - 1 - 2k.
解方程2/5(3x + 2) = k/10 + 3/2(x - 1),得x = 23 - k/3,
根据题意得(- 1 - 2k) + 23 - k/3 = 0,解得k = 20/7.
关键提醒 本题考查了方程的解的定义以及一元一次方程的解法,方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值,理解定义是关键.

12. $m$取什么整数时,关于$x的方程4x + m(x - 6) = 2(2 - 3m)$的解是正整数? 并求出方程的解.

答案： 去括号,得4x + mx - 6m = 4 - 6m,
移项、合并同类项,得4x + mx = 4.
∴(4 + m)x = 4,
∴x = 4/(4 + m).
∵x是正整数,m是整数,
∴4 + m是4的正因数,即4 + m可取1,2,4.
当4 + m = 1时,m = - 3,此时x = 4;
当4 + m = 2时,m = - 2,此时x = 2;
当4 + m = 4时,m = 0,此时x = 1.
素养导向 本题以求一元一次方程的解为背景,考查了学生的运算能力,解题的关键在于利用方程的解是正整数得出4 + m是4的正因数.

13. (2025·河南平顶山宝丰期末)超市开业大酬宾:跳绳每根40元,超过10根,全部享受8折优惠.七(1)班班长小明和七(2)班班长小红去购买跳绳.
(1)购买8根跳绳需320元;购买12根跳绳需384元;
(2)设顾客购买$m$条跳绳,当$m\leqslant10$时,需要付款40m元;当$m ＞ 10$时,则需要付款32m元;(用含有$m$的式子表示)
(3)小明比小红少买2根跳绳,付款时却比小红多付8元,这种情况有可能吗? 请利用方程知识说明理由.
这种情况有可能.理由如下:设小明买了x根跳绳,小红买了(x + 2)根跳绳,根据题意,得40x - 32(x + 2) = 8,解得x = 9,x + 2 = 11＞10(符合题意).故有这种可能.

答案：
(1)320 384
(2)40m 32m
(3)这种情况有可能.理由如下:
设小明买了x根跳绳,小红买了(x + 2)根跳绳,根据题意,
得40x - 32(x + 2) = 8,解得x = 9,
根据小明比小红少买2根跳绳,付款时却比小红多付8元,得出小红买的跳绳超过10根打折了,而小明的不足10根没打折
x + 2 = 11＞10(符合题意).故有这种可能.
解后反思 本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用,解题的关键是根据等量关系,列出方程.

14. 新情境 选数字猜出生年份 (2024·长沙中考)为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果. 只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份. 若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是____2009.

答案： 2009 [解析]设这位参与者的出生年份为x,选取的数字为m,可得(10m + 4.6)×10 + 1978 - x = 915,
∴100m + 46 + 1978 - x = 915.
∴x = 1109 + 100m.
∵此时中学生的出生时间应该在2000年后,
∴m = 9,
∴x = 2009.