《2025年实验班提优训练七年级数学上册人教版》

13. 配方法 如果一个正整数能写成$a^{2}-3b^{2}$的形式(其中a,b均为自然数),则称之为聪明数,比如6和24均是聪明数,因为$6= 3^{2}-3×1^{2},24= 6^{2}-3×2^{2}.$
(1)请证明:22和88都是聪明数;
(2)请证明:任何两个聪明数的乘积依旧是聪明数.

答案：
(1)证明:$\because 22=5^{2}-3×1^{2},88=10^{2}-3×2^{2},$
∴22和88都是聪明数.
(2)证明:设两个聪明数分别为$a^{2}-3b^{2}$和$c^{2}-3d^{2}$(其中a,b,c,d均为自然数),$\because (a^{2}-3b^{2})(c^{2}-3d^{2})$$=a^{2}c^{2}-3a^{2}d^{2}-3b^{2}c^{2}+9b^{2}d^{2}$$=(ac)^{2}-3a^{2}d^{2}-3b^{2}c^{2}+(3bd)^{2}$$=[(ac)^{2}-6abcd+(3bd)^{2}]-(3a^{2}d^{2}+3b^{2}c^{2}-6abcd)$$=(ac-3bd)^{2}-3(ad-bc)^{2},$
∴任何两个聪明数的乘积依旧是聪明数.

14. 错位相减法 (2025·云南昆明期中)古时候,在某个王国里有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋,献给了国王,国王从此迷上了下棋,为了对聪明的大臣表示感谢,国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说:“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第1格放1粒米,第2格放2粒米,第3格放4粒米,然后是8粒、16粒、32粒…一直到第64格.”“你真傻! 就要这么一点米粒?”国王哈哈大笑.大臣说:“就怕您的国库里没有这么多米!”国王的国库里真没有这么多米吗? 题中问题就是求$1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+... +2^{63}$是多少? 请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设$S= 1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+... +2^{63}.$
则$2S= 2(1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+... +2^{63})= 2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+... +2^{63}+2^{64},$
$\therefore 2S-S= 2+2^{2}+2^{3}+... +2^{64}-(1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+... +2^{63})$,即$S= 2^{64}-1.$
事实上,按照这位大臣的要求,放满一个棋盘上的64个格子需要$1+2^{1}+2^{2}+2^{3}... +2^{63}= (2^{64}-1)$粒米.那么$2^{64}-1$到底多大呢? 借助计算机中的计算器进行计算,可知答案是一个20位数:18446744073709551615,这是一个非常大的数,所以国王不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
(1)我国数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔四层,塔尖有灯共3盏,红光点点倍加增,请问塔上几盏灯?”意思是:一座4层塔的塔尖挂了3盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔上总共有多少盏灯?
(2)用题目中的方法计算:$1+3+9+27+... +3^{2024}$.(结果中可以含有幂)

答案：
(1)由题意,得$3+3×2+3×2^{2}+3×2^{3}=3+6+12+$$24=45$(盏).故塔上总共有45盏灯.
(2)$1+3+9+27+... +3^{2024}=1+3+3^{2}+3^{3}+... +3^{2024},$设$S=1+3+3^{2}+3^{3}+... +3^{2024},$则$3S=3(1+3+3^{2}+3^{3}+... +3^{2024})=3+3^{2}+3^{3}+$$... +3^{2024}+3^{2025},$$\therefore 3S-S=(3+3^{2}+3^{3}+... +3^{2024}+3^{2025})-(1+3+$$3^{2}+3^{3}+... +3^{2024}),$即$2S=3^{2025}-1,\therefore S=\frac {3^{2025}-1}{2},$$\therefore 1+3+9+27+... +3^{2024}=\frac {3^{2025}-1}{2}.$思路引导 本题主要考查数字的变化规律,总结归纳出数字的变化规律,得出正确的倍数关系是解题的关键.