《2025年实验班提优训练七年级数学上册人教版》

12. 中考新考法 新定义问题 (2024·江苏盐城射阳期末)若定义一种新的运算“*”,规定有理数$a*b= 4ab$,如$2*3= 4×2×3= 24$.
(1)求$3*(-4)$的值;
(2)求$(-2)*(6*3)$的值.

答案：
(1)$3*(-4)=4×3×(-4)=-48.$
(2)$(-2)*(6*3)=(-2)*(4×6×3)=(-2)*72=4×(-2)×72=-576.$

13. 如图,小莉同学有7张写着不同数字的卡片,她想从中取出若干张卡片,将卡片上的数字进行有理数的运算.
(1)若取出2张卡片,应该抽取哪2张使得数字之积最大?积最大是多少呢?
(2)若取出3张卡片,应该抽取哪3张使得数字之积最小?积最小是多少呢?

答案：
(1)取出-6 和-4,积最大为$(-6)×(-4)=24.$
(2)取出-6,3,5,积最小为$(-6)×3×5=-90.$

14. (1)判断$k= \frac {1}{4}$是(填“是”或“不是”)数组$P:-1,-3,-5$的收纳系数;
(2)对数组$P= 3,1,-1$,在下列各数中:1,$\frac {1}{4},-\frac {1}{5},\frac {1}{3}$,k可能是$\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{5}$;
(3)已知100个连续整数组成数组P,求出k的最大值和相应的$|a+b|$的最小值.
k的最大值为$\frac{1}{99}$，相应的$|a+b|$的最小值为$\frac{1}{99}$

答案：
(1)是 ［解析］
∵$\frac{1}{4}×(-1)=-\frac{1}{4},\frac{1}{4}×(-3)=-\frac{3}{4},\frac{1}{4}×(-5)=-\frac{5}{4},-\frac{1}{4}-(-\frac{5}{4})=1$,
∴B 为表示数$-\frac{5}{4}$的点.取 A 为表示数$-\frac{1}{4}$的点,那么这三个数都可以用线段 AB 上的某个点来表示,
∴$k=\frac{1}{4}$是数组 P:-1,-3,-5 的收纳系数.
(2)$\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{5}$ ［解析］
∵$3-(-1)=4＞1,1×(-1)=-1,1×1=1,1×3=3$,
∴k 不可能为 1;
∵$\frac{1}{4}×1=\frac{1}{4},\frac{1}{4}×(-1)=-\frac{1}{4},\frac{1}{4}×3=\frac{3}{4},\frac{3}{4}-(-\frac{1}{4})=1$,
∴k 可能为$\frac{1}{4}$;
∵$-\frac{1}{5}×3=-\frac{3}{5},-\frac{1}{5}×(-1)=\frac{1}{5},-\frac{1}{5}×1=-\frac{1}{5},\frac{1}{5}-(-\frac{3}{5})=\frac{4}{5}＜1$,
∴k 可能为$-\frac{1}{5}$;
∵$\frac{1}{3}×3=1,\frac{1}{3}×1=\frac{1}{3},\frac{1}{3}×(-1)=-\frac{1}{3},1-(-\frac{1}{3})=\frac{4}{3}＞1$,
∴k 不可能为$\frac{1}{3}$.
(3)
∵这 100 个数是连续整数,
∴数组 P 中的最大的数与最小数之差为 99,
∴$|k|$的最大值$\frac{1}{99}$,
∴k 的最大值为$\frac{1}{99}$;当中间的数字为 0 时,$|a+b|$的值最小.
∵$n=100$,
∴当第 50 个或第 51 个数字为 0 时,$|a+b|$的值最小.当第 50 个数字为 0 时,$a=-\frac{49}{99},b=\frac{50}{99}$,
∴$|a+b|=|-\frac{49}{99}+\frac{50}{99}|=\frac{1}{99}$;当 51 个数字为 0 时,$a=-\frac{50}{99},b=\frac{49}{99}$,
∴$|a+b|=|-\frac{50}{99}+\frac{49}{99}|=\frac{1}{99}.$综上所述,k 的最大值为$\frac{1}{99}$,相应的$|a+b|$的最小值为$\frac{1}{99}.$