《2025年实验班提优训练七年级数学上册人教版》

【例】(第八届“枫叶新希望杯”全国数学大赛)若干个 1 与 -1 排成一行:1,-1,1,-1,-1,1,-1,-1,-1,…,规则是:先写一行 1,再在第 k 个 1 与第 k + 1 个 1 之间插入 k 个 -1(k = 1,2,3,….).
(1)第 2012 个数是 1 还是 -1?
(2)前 2012 个数的和是多少?

答案：
(1)解：第k个1之前有(k-1)个1，插入的-1个数为1+2+…+(k-1)=$\frac{k(k-1)}{2}$，则第k个1之前共有数(k-1)+$\frac{k(k-1)}{2}$=$\frac{k^2 + k - 2}{2}$个。当k=62时，$\frac{62^2 + 62}{2}$=1953；当k=63时，$\frac{63^2 + 63}{2}$=2016。因为1953＜2012＜2016，所以第2012个数是-1。
(2)解：由
(1)知前2012个数中有62个1，-1的个数为2012-62=1950。和S=62×1 + 1950×(-1)=62 - 1950=-1888。
答案：
(1)-1；
(2)-1888。

1. (第六届“枫叶新希望杯”全国数学大赛)2009 年 12 月 20 日,澳门回归祖国 10 周年,为了庆祝这个喜庆的日子,旺旺超市决定降价销售大礼包,现有三种降价方案:甲方案:第一次降价 30%,第二次降价 10%;乙方案:连续两次降价 20%;丙方案:一次性降价 40%.最后售价最低的是方案(C).
A.甲
B.乙
C.丙
D.三种方案都一样

答案： 1.C ［解析］设原价为m元，则降价后，甲方案的售价为m(1-30%)×(1-10%)=63%m，乙方案的售价为m·(1-20%)²=64%m，丙方案的售价为m(1-40%)=60%m.
∵60%m＜63%m＜64%m，
∴丙方案售价最低.故选C.思路引导 本题考查了代数式，首先设原价为m元，根据已知列出三种情况的销售价格的代数式并化简，然后比较得出答案，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式.

2. (第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛)羊村村长配制了浓度为 p%和 q%的糖水各一杯,分别为 a kg 和 b kg,然后都倒到一个小缸子里面混合,村长从这混合后的糖水中取出 c kg(c ≤ a + b),关于这 c kg 糖水,村长让懒羊羊、沸羊羊、喜羊羊、美羊羊和暖羊羊都说说自己的看法.
懒羊羊说:“浓度是(p + q)%”;沸羊羊说:“浓度是$\frac{p + q}{2}$%”;喜羊羊说:“含糖(ap% + bq%)kg”;美羊羊说:“浓度是$\frac{ap + bq}{a + b}$%”;暖羊羊说:“含水[a(1 - p)% + b(1 - q)%]kg”.
他们的说法中,正确的个数是(A).
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.A ［解析］浓度为p%的a kg糖水中，含糖ap%kg，含水a(1-p%)kg；浓度为q%的b kg糖水中，含糖bq%kg，含水b(1-q%)kg；因此c kg糖水中含糖浓度为$\frac{ap\% + bq\%}{a + b} = \frac{ap + bq}{a + b}\%$，含糖量$c \cdot \frac{ap + bq}{a + b}\% = \frac{c(ap + bq)\%}{a + b}$kg，含水量为$[c - \frac{c(ap + bq)\%}{a + b}]$kg，所以只有美羊羊的说法是正确的，即正确的说法只有一个.故选A.思路引导 本题考查了代数式，理解浓度的计算方法是解答本题的关键.分别计算出c kg糖水中含糖浓度、含糖量、含水量即可求解.

3. (第十二届“枫叶新希望杯”全国数学大赛)已知四个不同的整数 a,b,c,d 满足等式(a - 2015)(b - 12)·(c - 24)(d - 7) = 9,则 a + b + c + d 的值为(C).
A.0
B.2015
C.2058
D.2067

答案： 3.C