《2025年实验班提优训练七年级数学上册人教版》

【例】(第九届优利信杯七年级竞赛数学试题)小江编了一个程序:从1开始,交错地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可以是乘法),每次加法,将上次的运算结果加2或加3;每次乘法,将上次的运算结果乘2或乘3.例如,10可以这样得到:
$1 + 3 = 4,4 × 2 = 8,8 + 2 = 10.$
(1)写出最终结果为136的过程;
(2)写出得到$2^{100} + 2^{97} - 2$的过程.
解析:本题考查了有理数的四则混合运算.含乘方的有理数混合运算等知识点,按照程序所规定的计算方法进行计算是解题的关键.
(1)利用有理数的四则混合运算法则进行计算即可得解,注意加法与乘法必须是交错的;
(2)从1开始,不断乘2,再加2,算到$3 × 2^{96} - 4$,加上3,乘3,加上2,乘2,即可得出答案.
答案: (1)$1 \xrightarrow{× 2} 2 \xrightarrow{+2} 4 \xrightarrow{× 3} 12 \xrightarrow{+3} 15 \xrightarrow{× 2} 30 \xrightarrow{+3} 33 \xrightarrow{× 2} 66 \xrightarrow{+2} 68 \xrightarrow{× 2} 136$.
(2)$1 \xrightarrow{× 2} 3 × 2 - 4 \xrightarrow{+2} 3 × 2 - 2 \xrightarrow{× 2} 3 × 2^{2} - 4 \xrightarrow{+2} 3 × 2^{2} - 2 \xrightarrow{× 2} 3 × 2^{3} - 4 \xrightarrow{+2} 3 × 2^{3} - 2 …$(不断乘2,再加2)$\xrightarrow{× 2} 3 × 2^{96} - 4 \xrightarrow{+3} 3 × 2^{96} - 1 \xrightarrow{× 3} 2^{99} + 2^{96} - 3 \xrightarrow{+2} 2^{99} + 2^{96} - 1 \xrightarrow{× 2} 2^{100} + 2^{97} - 2$.

答案：
(1)$1 \xrightarrow{× 2} 2 \xrightarrow{+2} 4 \xrightarrow{× 3} 12 \xrightarrow{+3} 15 \xrightarrow{× 2} 30 \xrightarrow{+3} 33 \xrightarrow{× 2} 66 \xrightarrow{+2} 68 \xrightarrow{× 2} 136$.
(2)$1 \xrightarrow{× 2} 3 × 2 - 4 \xrightarrow{+2} 3 × 2 - 2 \xrightarrow{× 2} 3 × 2^{2} - 4 \xrightarrow{+2} 3 × 2^{2} - 2 \xrightarrow{× 2} 3 × 2^{3} - 4 \xrightarrow{+2} 3 × 2^{3} - 2 …$(不断乘2,再加2)$\xrightarrow{× 2} 3 × 2^{96} - 4 \xrightarrow{+3} 3 × 2^{96} - 1 \xrightarrow{× 3} 2^{99} + 2^{96} - 3 \xrightarrow{+2} 2^{99} + 2^{96} - 1 \xrightarrow{× 2} 2^{100} + 2^{97} - 2$.

1. (第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛)已知在数轴上与实数$a,b,c$对应的点如图所示,则$\frac{a - b}{|a - b|} - \frac{b - c}{|b - c|} + \frac{c - a}{|c - a|} + \frac{ab - ac}{|ab - ac|}$的值为______.

2

答案： 2 [解析]根据数轴,得a＜b＜0＜c,
∴a−b＜0,b−c＜0,c−a＞0,ab−ac＞0,
∴$\frac{a−b}{|a−b|}$−$\frac{b−c}{|b−c|}$+$\frac{c−a}{|c−a|}$+$\frac{ab−ac}{|ab−ac|}$=−1+1+1+1=2.
思路引导 本题考查数轴和有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，先根据数轴，求出a,b,c的取值范围，依此确定a−b,b−c,c−a,ab−ac的取值范围，再去绝对值符号计算即可.

2. (第八届“枫叶新希望杯”全国数学大赛)定义:$a$是不为1的有理数,把$\frac{1 + a}{1 - a}定义为a$的“和差分数”,如2的和差分数为$\frac{1 + 2}{1 - 2} = - 3,-2的和差分数为\frac{1 + (-2)}{1 - (-2)} = - \frac{1}{3}$.已知$a_{1} = \frac{1}{2},a_{1}的和差分数为a_{2},a_{2}的和差分数为a_{3},a_{3}的和差分数为a_{4},…$,求$a_{2012}$的值.

答案：
∵a₁=$\frac{1}{2}$,
∴a₂=$\frac{1+\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}$=3,a₃=$\frac{1 + 3}{1 - 3}$=−2,a₄=$\frac{−2 + 1}{1 - (−2)}$=−$\frac{1}{3}$,a₅=$\frac{1 + (-\frac{1}{3})}{1 - (-\frac{1}{3})}$=$\frac{1}{2}$,
∴4个数一个周期.
而2012 = 503×4,
∴a₂₀₁₂=a₄=−$\frac{1}{3}$.
思路引导 本题考查了新定义运算，根据新定义，分别算出a₁,a₂,a₃,a₄,a₅的值，找到规律即可求解，根据新定义运算找到规律是解题的关键.

3. 类比思想(第十八届“枫叶新希望杯”全国数学大赛)贝贝为了计算$1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … + 99 × 100$的值,作了如下探究:
$1 × 2 = \frac{1}{3}(1 × 2 × 3 - 0 × 1 × 2),$
$2 × 3 = \frac{1}{3}(2 × 3 × 4 - 1 × 2 × 3),$
$3 × 4 = \frac{1}{3}(3 × 4 × 5 - 2 × 3 × 4),$
将这三个等式的两边相加,
得到$1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 = \frac{1}{3} × 3 × 4 × 5 = 20$.
(1)请帮贝贝计算$1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … + 99 × 100$的值;
∵1×2=$\frac{1}{3}$×(1×2×3−0×1×2),
2×3=$\frac{1}{3}$×(2×3×4−1×2×3),
3×4=$\frac{1}{3}$×(3×4×5−2×3×4),
……
99×100=$\frac{1}{3}$×(99×100×101−98×99×100),
∴1×2+2×3+3×4+…+99×100=$\frac{1}{3}$×99×100×101=333300.
(2)请直接写出$s = 11 × 12 + 12 × 13 + 13 × 14 + … + 49 × 50$的值,$s = $41210.
(3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式,请计算该算式的值:
$1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + … + 20 × 21 × 22.$
1×2×3=$\frac{1}{4}$×(1×2×3×4−0×1×2×3),
2×3×4=$\frac{1}{4}$×(2×3×4×5−1×2×3×4),
3×4×5=$\frac{1}{4}$×(3×4×5×6−2×3×4×5),
……
20×21×22=$\frac{1}{4}$×(20×21×22×23−19×20×21×22),
∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+20×21×22=$\frac{1}{4}$×20×21×22×23=53130.

答案：
(1)
∵1×2=$\frac{1}{3}$×(1×2×3−0×1×2),
2×3=$\frac{1}{3}$×(2×3×4−1×2×3),
3×4=$\frac{1}{3}$×(3×4×5−2×3×4),
……
99×100=$\frac{1}{3}$×(99×100×101−98×99×100),
∴1×2+2×3+3×4+…+99×100=$\frac{1}{3}$×99×100×101=333300.
(2)41210
(3)1×2×3=$\frac{1}{4}$×(1×2×3×4−0×1×2×3),
2×3×4=$\frac{1}{4}$×(2×3×4×5−1×2×3×4),
3×4×5=$\frac{1}{4}$×(3×4×5×6−2×3×4×5),
……
20×21×22=$\frac{1}{4}$×(20×21×22×23−19×20×21×22),
∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+20×21×22=$\frac{1}{4}$×20×21×22×23=53130.
归纳总结 本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，利用类比的数学思想解答.