《2025年实验班提优训练七年级数学上册人教版》

8. (2025·福建福州福清期末)如图,点C,D在线段AB上,$ AB + BC = 24 $,线段AB的长度是线段BD长度的4倍,线段CD的长度比线段BD的长度多6a,则$ BD = $____4−a.(用含a的式子表示)

答案： 4−a　[解析]设BD=x,
∵线段AB的长度是线段BD长度的4倍，线段CD的长度比线段BD的长度多6a，
∴AB=4x,CD=x+6a,
∴BC=BD+CD=2x+6a.
∵AB+BC=24,
∴4x+2x+6a=24,
∴x=4−a.

9. 分类讨论思想 如图所示,某公司有三个住宅区,A,B,C各区分别住有职工30人,15人,10人,且这三点在一条大道上(A,B,C三点共线),已知$ AB = 100 $米,$ BC = 200 $米.为了方便职工上下班,该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在哪里?

答案： ①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×100+10×300=4500(米),　②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×100+10×200=5000(米),　③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+15×200=12000(米),　④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则(0＜m＜100),则所有人的路程的和是30m+15(100−m)+10(300−m)=4500+5m＞4500,　⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n,则(0＜n＜200),则总路程为30(100+n)+15n+10(200−n)=5000+35n＞4500.
∴该停靠点的位置应设在点A.

10. (2025·辽宁沈阳期末)如图,已知平面上三点A,B,C.
(1)请画出图形:①画直线AC;②画射线BA;③画线段BC;
(2)在(1)的条件下,数一数图中共有____条射线.
(3)从点B到点C的最短路径是什么?依据是什么?

答案：

(1)如图，直线AC、射线BA、线段BC即为所求.　　　　　　　　 　　
(2)3　[解析]图中有射线BA,AC,CA,共3条.　　
(3)从点B到点C的最短路径是线段BC,依据是:两点之间，线段最短.思路引导　本题考查了作图，直线、射线、线段的定义，线段的性质，解决本题的关键是掌握线段的性质:两点之间，线段最短.

11. 动点模型 如图,点C,M,N在线段AB上.已知$ AC:BC = 3:2 $,当$ AM = \frac{1}{4}CM $,$ BN = \frac{1}{4}CN $时,$ MN = 12 $.
(1)请计算线段AC的长度;
(2)若M,N为动点,分别从A,B同时出发,点M以每秒2个单位长度的速度沿AB向右运动,点N以每秒1个单位长度的速度沿BA向左运动,求运动多少秒时,$ MC = NC $.

答案：
(1)
∵AM=1/4CM,BN=1/4CN时,MN=12,
∴AM+BN=1/4(CM+CN)=1/4MN=1/4×12=3,
∴AB=AM+BN+MN=3+12=15.
∵AC:BC=3:2,
∴AC=3/5AB=3/5×15=9.　
(2)设运动x秒时，点C是线段MN的中点，
∵AB=15,AC=9,
∴BC=AB−AC=15−9=6,　若点M在点C的左侧，点N在点C的右侧，　则9−2x=6−x,解得x=3;　若点M在点C的右侧，点N在点C的左侧，　则2x−9=x−6,解得x=3,不符合题意，舍去.　故运动3秒时，点C是线段MN的中点.　归纳总结　本题重点考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键.