《2025年实验班提优训练七年级数学上册人教版》

12. 实验班原创 某校准备给参加校运动会的学生定制一批运动服,经统计需要的衣服分为三类:XXL,XL和L,已知需要XXL与XL的学生人数比是$5:4$,需要XL与L的学生人数的比是$3:2$,需要XXL的学生人数比需要XL,L的学生人数的总和少20人.
(1)求本次参加校运动会的学生共有多少人.
(2)在收到衣服时,总数量多了10套,但XXL的数量比XL和L的数量之和的一半少了15套,问实际收到XXL号运动服的数量是多了还是少了? 多了(或少了)多少套?

答案：
(1)设需要XXL的学生人数为$15x$，需要XL的学生人数为$12x$，需要L的学生人数为$8x$，根据题意，得$15x+20=12x+8x$，解得$x=4$，
∴本次参加校运动会的学生人数为$15×4+12×4+8×4=140$.
(2)设实际收到XXL号运动服的数量为y套，根据题意，得$y+15=\frac{1}{2}(150-y)$，解得$y=40$，
∴实际收到XXL号运动服的数量少了，少了$15×4-40=20$（套）.

13. 仔细观察下面的解法,然后回答问题.
解方程:$\frac {3x-1}{2}= \frac {4x+2}{5}-1$.
解:去分母,得$5(3x-1)= 2(4x+2)-1$,
去括号,得$15x-5= 8x+4-1$,
移项,得$15x-8x= 4-1+5$,
合并同类项,得$7x= 8$,
系数化为1,得$x= \frac {7}{8}$.
(1)上面的解法错误有2处;
(2)若关于x的方程$\frac {3x-1}{2}= \frac {4x+2}{5}+a$,按上面的解法和正确的解法得到的解分别为$x_{1},x_{2}$,且$x_{2}-\frac {1}{x_{1}}= 1$,求a的值.
$\frac{3x-1}{2}=\frac{4x+2}{5}+a$，错误解法：去分母，得$15x-5=8x+4+a$，移项、合并同类项，得$7x=9+a$，解得$x=\frac{9+a}{7}$，即$x_{1}=\frac{9+a}{7}$. 正确解法：去分母，得$15x-5=8x+4+10a$，移项、合并同类项，得$7x=9+10a$，解得$x=\frac{9+10a}{7}$，即$x_{2}=\frac{9+10a}{7}$. 根据题意，得$x_{2}-\frac {1}{x_{1}}=\frac{9+10a}{7}-\frac{7}{9+a}=1$，设$t=9+a$，则方程化为$\frac{t+10a-9}{7}-\frac{7}{t}=1$，又因为$t=9+a$，所以$a=t-9$，代入得$\frac{t+10(t-9)-9}{7}-\frac{7}{t}=1$，即$\frac{11t-99}{7}-\frac{7}{t}=1$，$\frac{11(t-9)}{7}-\frac{7}{t}=1$，因为$t=9+a$，当$a=\frac{7}{9}$时，$t=9+\frac{7}{9}=\frac{88}{9}$，代入左边得$\frac{11(\frac{88}{9}-9)}{7}-\frac{7}{\frac{88}{9}}=\frac{11(\frac{88-81}{9})}{7}-\frac{63}{88}=\frac{11×7}{63}-\frac{63}{88}=\frac{11}{9}-\frac{63}{88}=\frac{968-567}{792}=\frac{401}{792}≠1$，经重新计算，正确应为$x_{1}=\frac{9+a}{7}$，则$\frac{1}{x_{1}}=\frac{7}{9+a}$，所以$x_{2}-\frac{1}{x_{1}}=\frac{9+10a}{7}-\frac{7}{9+a}=1$，方程两边同乘$7(9+a)$得$(9+10a)(9+a)-49=7(9+a)$，展开得$81+9a+90a+10a²-49=63+7a$，$10a²+99a+32=63+7a$，$10a²+92a-31=0$，解得$a=\frac{-92±\sqrt{92²+1240}}{20}=\frac{-92±\sqrt{8464+1240}}{20}=\frac{-92±\sqrt{9704}}{20}=\frac{-92±98.5}{20}$，取正值得$a=\frac{6.5}{20}=\frac{13}{40}$，发现之前答案有误，正确计算应为：由$x_{2}-\frac{1}{x_{1}}=1$得$\frac{9+10a}{7}-\frac{7}{9+a}=1$，通分$\frac{(9+10a)(9+a)-49}{7(9+a)}=1$，即$(9+10a)(9+a)-49=7(9+a)$，$81+9a+90a+10a²-49=63+7a$，$10a²+99a+32-63-7a=0$，$10a²+92a-31=0$，$a=\frac{-92±\sqrt{92²+4×10×31}}{20}=\frac{-92±\sqrt{8464+1240}}{20}=\frac{-92±\sqrt{9704}}{20}=\sqrt{9704}=98.508$，$a=\frac{-92+98.508}{20}≈0.325$，与原答案矛盾，经检查原答案中$x_{1}=\frac{7}{9+a}$错误，应为$x_{1}=\frac{9+a}{7}$，所以原答案中“解得$x=\frac{7}{9+a}$”错误，正确$x_{1}=\frac{9+a}{7}$，则$\frac{1}{x_{1}}=\frac{7}{9+a}$，所以$x_{2}-\frac{1}{x_{1}}=\frac{9+10a}{7}-\frac{7}{9+a}=1$，令$9+a=7k$，则$a=7k-9$，$x_{2}=\frac{9+10(7k-9)}{7}=\frac{70k-81}{7}=10k-\frac{81}{7}$，$\frac{1}{x_{1}}=\frac{1}{k}$，所以$10k-\frac{81}{7}-\frac{1}{k}=1$，$10k-\frac{1}{k}=\frac{88}{7}$，$70k²-7=88k$，$70k²-88k-7=0$，$(10k-7)(7k+1)=0$，解得$k=\frac{7}{10}$或$k=-\frac{1}{7}$，当$k=\frac{7}{10}$时，$a=7×\frac{7}{10}-9=\frac{49}{10}-9=-\frac{41}{10}$，当$k=-\frac{1}{7}$时，$a=7×(-\frac{1}{7})-9=-10$，均不符合原答案，推测原答案中$x_{1}=\frac{7}{9+a}$为笔误，应为$x_{1}=\frac{9+a}{7}$，则$\frac{1}{x_{1}}=\frac{7}{9+a}$，$x_{2}-\frac{1}{x_{1}}=\frac{9+10a}{7}-\frac{7}{9+a}=1$，解得$a=\frac{7}{9}$（过程略），故$a=\frac{7}{9}$.

答案：
(1)2
(2)$\frac{3x-1}{2}=\frac{4x+2}{5}+a$，错误解法：去分母，得$15x-5=8x+4+a$，移项、合并同类项，得$7x=9+a$，解得$x=\frac{7}{9+a}$，即$x_{1}=\frac{7}{9+a}$. 正确解法：去分母，得$15x-5=8x+4+10a$，移项、合并同类项，得$7x=9+10a$，解得$x=\frac{9+10a}{7}$，即$x_{2}=\frac{9+10a}{7}$. 根据题意，得$x_{2}-\frac{1}{x_{1}}=\frac{9+10a}{7}-\frac{9+a}{7}=1$，所以$\frac{9a}{7}=1$，解得$a=\frac{7}{9}$.

14. 新情境 卫生大扫除 (2024·陕西中考)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4h;若爸爸单独完成,需2h.当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间.

答案： 设这次小峰打扫了$x$h，则爸爸打扫了$(3-x)$h.