《2025年实验班提优训练七年级数学上册人教版》

12. 整体代入思想(2025·广东湛江一中期中)[教材呈现]如图是人教版七年级上册数学教材的部分内容.
“把$(x + y)$看成一个整体,对下列式子进行化简:$3(x + y)^{2} - 7(x + y) + 8(x + y)^{2} + 6(x + y)$.”
[问题解决]
(1)对上面的式子进行化简,写出化简过程;
$3(x + y)^{2}-7(x + y)+8(x + y)^{2}+6(x + y)$ $=(3 + 8)(x + y)^{2}+(-7 + 6)(x + y)$ $=11(x + y)^{2}-(x + y)$
[简单应用]请运用上面的化简方法,完成下列问题.
(2)当$a^{2} + 2a = 3$,则$a^{2} + 2a + 2024 = $2027;
(3)当$a = 1$时,代数式$pa^{3} + qa + 1$的值是5,求当$a = -1$时,代数式$pa^{3} + qa + 1$的值;
$\because a=1$,$pa^{3}+qa + 1$的值是 5,$\therefore p + q + 1=5$,$\therefore p + q=4$.$\therefore$当$a=-1$时,$pa^{3}+qa + 1=-p - q + 1=-(p + q)+1=-4 + 1=-3$
[拓展延伸]
(4)已知$a^{2} + ab = -5$,$-2ab + 3b^{2} = 4$,求式子$2a^{2} - 2ab + 6b^{2}$的值.
$\because a^{2}+ab=-5$,$-2ab + 3b^{2}=4$,$\therefore 2a^{2}-2ab + 6b^{2}=2a^{2}+2ab - 2ab - 2ab + 6b^{2}=2(a^{2}+ab)+(-4ab + 6b^{2})=2(a^{2}+ab)+2(-2ab + 3b^{2})=2×(-5)+2×4=-10 + 8=-2$

答案：
(1)$3(x + y)^{2}-7(x + y)+8(x + y)^{2}+6(x + y)$ $=(3 + 8)(x + y)^{2}+(-7 + 6)(x + y)$ $=11(x + y)^{2}-(x + y)$.
(2)2027 [解析]$\because a^{2}+2a=3$,$\therefore a^{2}+2a + 2024=3 + 2024=2027$.
(3)$\because a=1$,$pa^{3}+qa + 1$的值是 5,$\therefore p + q + 1=5$,$\therefore p + q=4$.$\therefore$当$a=-1$时,$pa^{3}+qa + 1=-p - q + 1=-(p + q)+1=-4 + 1=-3$.
(4)$\because a^{2}+ab=-5$,$-2ab + 3b^{2}=4$,$\therefore 2a^{2}-2ab + 6b^{2}=2a^{2}+2ab - 2ab - 2ab + 6b^{2}=2(a^{2}+ab)+(-4ab + 6b^{2})=2(a^{2}+ab)+2(-2ab + 3b^{2})=2×(-5)+2×4=-10 + 8=-2$.

13. 归纳法年龄是我们生命的标志,密码是我们信息的守护.当我们将自己的出生年份减去倒置后的出生年份,得到的差即为我们的“安全密码”.如中国两弹一星功勋奖章获得者钱学森出生于1911年,他的“安全密码”为$1911 - 1191 = 720$,再如中国著名核物理学家邓稼先出生于1924年,他的“安全密码”为$1924 - 4291 = -2367$.
(1)你出生于2011年,你的安全密码是909.
(2)猜想:请结合教材数学活动2猜想这些“安全密码”都可以被几整除,请说明你的理由.
这些“安全密码”都可以被9整除,理由如下: 设出生年份为$1000a + 100b + 10c + d$,则“安全密码”为$1000a + 100b + 10c + d-(1000d + 100c + 10b + a)=1000a + 100b + 10c + d - 1000d - 100c - 10b - a=999a + 90b - 90c - 999d=9(111a + 10b - 10c - 111d)$, 所以这些“安全密码”都能被9整除.

答案：
(1)2011 909(答案不唯一) [解析] 若出生年份为2011年时,则“安全密码”为2011 - 1102=909.
(2)这些“安全密码”都可以被9整除,理由如下: 设出生年份为$1000a + 100b + 10c + d$,则“安全密码”为$1000a + 100b + 10c + d-(1000d + 100c + 10b + a)=1000a + 100b + 10c + d - 1000d - 100c - 10b - a=999a + 90b - 90c - 999d=9(111a + 10b - 10c - 111d)$, 所以这些“安全密码”都能被9整除.

14. 新情境 设计数学探究活动 在“点燃我的梦想,数学皆有可能”数学创新设计活动中,“智多星”小强设计了一个数学探究活动:对依次排列的两个整式$m$,$n$按如下规律进行操作:
第1次操作后得到整式串$m$,$n$,$n - m$;
第2次操作后得到整式串$m$,$n$,$n - m$,$-m$;
第3次操作后…;
其操作规则为:每次操作增加的项,都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差,小强将这个活动命名为“回头差”游戏,则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是(D).
A.$m + n$
B.$m$
C.$n - m$
D.$2n$

答案： D