《2025年实验班提优训练七年级数学上册人教版》

【例1】(第九届“枫叶新希望杯”全国研学营赛)已知$A= -\frac{2011×2012}{2013×2014},B= -\frac{2011×2013}{2012×2014},C= -\frac{2011×2014}{2012×2013}$,则$A,B,C$的大小关系是____.(用“＜”连接)
$C＜B＜A$

答案： 解：$\because A= -\frac{2011×2012}{2013×2014}$，$B= -\frac{2011×2013}{2012×2014}$，$C= -\frac{2011×2014}{2012×2013}$，
$\therefore A-B= -\frac{2011×2012}{2013×2014}+\frac{2011×2013}{2012×2014}$
$=\frac{2011}{2014}×\frac{2013}{2012}-\frac{2011}{2014}×\frac{2012}{2013}$
$=\frac{2011}{2014}×\left(\frac{2013}{2012}-\frac{2012}{2013}\right)$。
$\because \frac{2013}{2012}＞1$，$\frac{2012}{2013}＜1$，$\therefore \frac{2013}{2012}-\frac{2012}{2013}＞0$，则$A-B＞0$，即$A＞B$。
$B-C= -\frac{2011×2013}{2012×2014}+\frac{2011×2014}{2012×2013}$
$=\frac{2011}{2012}×\frac{2014}{2013}-\frac{2011}{2012}×\frac{2013}{2014}$
$=\frac{2011}{2012}×\left(\frac{2014}{2013}-\frac{2013}{2014}\right)$。
$\because \frac{2014}{2013}＞1$，$\frac{2013}{2014}＜1$，$\therefore \frac{2014}{2013}-\frac{2013}{2014}＞0$，则$B-C＞0$，即$B＞C$。
$\therefore A＞B＞C$，即$C＜B＜A$。
结论：$C＜B＜A$

【例2】(第九届“枫叶新希望杯”全国研学营赛)已知$a,b,c$都为整数,且$|a-b|^{2012}+|c-a|^{2013}= 1$,求方程$|x|= x+|a-b|+|a-c|+|b-c|$的解.
解析：本题考查了绝对值的性质、代数式求值、绝对值方程,根据题意,得$|a-b|= 0,|c-a|= 1或|a-b|= 1,|c-a|= 0$,分类讨论$|b-c|$的值,再代入$|x|= x+|a-b|+|a-c|+|b-c|$中求解绝对值方程即可.
答案：由题意,得$|a-b|= 0,|c-a|= 1或|a-b|= 1,|c-a|= 0$,
当$|a-b|= 0,|c-a|= 1$时,则$a= b,c-a= \pm1$,
$\therefore b-c= \pm1$,即$|b-c|= 1$,
$\therefore |a-b|+|a-c|+|b-c|= 2$；
当$|a-b|= 1,|c-a|= 0$时,则$a-b= \pm1,c= a,\therefore b-c= \pm1$,即$|b-c|= 1$,
$\therefore |a-b|+|a-c|+|b-c|= 2$,
$\therefore |x|= x+2$,解得$x= -1$.

答案： 解：因为$a,b,c$都为整数，且$|a - b|^{2012}+|c - a|^{2013}=1$，
所以$|a - b|=0$，$|c - a|=1$或$|a - b|=1$，$|c - a|=0$。
当$|a - b|=0$，$|c - a|=1$时，$a = b$，$c - a=\pm1$，则$b - c=\pm1$，$|b - c|=1$，
$\therefore|a - b|+|a - c|+|b - c|=0 + 1+1=2$；
当$|a - b|=1$，$|c - a|=0$时，$a - b=\pm1$，$c = a$，则$b - c=\pm1$，$|b - c|=1$，
$\therefore|a - b|+|a - c|+|b - c|=1 + 0+1=2$。
综上，$|a - b|+|a - c|+|b - c|=2$，方程为$|x|=x + 2$。
当$x\geq0$时，$x=x + 2$，$0=2$，无解；
当$x＜0$时，$-x=x + 2$，$-2x=2$，解得$x=-1$。
$\therefore$方程的解为$x=-1$。

1. (第12届“枫叶新希望杯”全国数学大赛七年级)对于任意的有理数$x_1和x_2$,称$|x_1-x_2|为x_1和x_2$的“绝对差”.小枫同学对$1,2,3,4,…,2016这2016$个整数进行如下操作：划掉两个整数,并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”.重复操作,直到剩下一个数,这个数最大是____2016.

答案： 2016 [解析]由运算规律可知,要使最后剩下的一个数最大,则除1与2016外,共有2014个数,从2开始,每相邻两个连续的整数为一组,其“绝对差”为1,划掉这样相邻的两个数,加上整数1,共加上1007个1,这样的一列数为:1008个1与2016,这1008个1,每两个一组划掉,其“绝对差”均为0,故最后剩下的两个数为0与2016,2016与0的“绝对差”为2016,故最后可剩下的这个最大数为2016.

2. (第12届“枫叶新希望杯”全国数学大赛七年级)先阅读下面的材料,然后解答问题：
数轴上的$n个点表示的数分别是a_1,a_2,a_3,…,a_n$,且$a_1\leq a_2\leq a_3…\leq\leq a_n$,$P$是数轴上一点,其表示的数为$x$,对于代数式$s= |x-a_1|+|x-a_2|+|x-a_3|+…+|x-a_n|$,由绝对值的几何意义可得：若$n$为奇数,则$x= a_{\frac{n+1}{2}}$时,$s$的值最小；若$n$为偶数,则$a_{\frac{n}{2}}\leq x\leq a_{\frac{n}{2}+1}$时,$s$的值最小.
(1)求$s= |x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-123|$的最小值；
(2)求$s= |2x-1|+|3x-2|+|5x-4|+|7x-6|+|9x-8|$的最小值.

答案：
(1)一共123个数,当$x=(123 + 1)÷2 = 62$时,s的值最小,此时,$s = 61 + 60 + 59 + \cdots + 1 + 0 + 1 + \cdots + 59 + 60 + 61 = 61×62 = 3782$
(2)$s = |2x - 1| + |3x - 2| + |5x - 4| + |7x - 6| + |9x - 8| = 2\left|x - \frac{1}{2}\right| + 3\left|x - \frac{2}{3}\right| + 5\left|x - \frac{4}{5}\right| + 7\left|x - \frac{6}{7}\right| + 9\left|x - \frac{8}{9}\right|$
有2个$\frac{1}{2}$,3个$\frac{2}{3}$,5个$\frac{4}{5}$,7个$\frac{6}{7}$,9个$\frac{8}{9}$,共$2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 26$个数,
$26÷2 = 13$,当x取第13个数$\frac{6}{7}$时,s的值最小,
此时,$s = \left|2×\frac{6}{7} - 1\right| + \left|3×\frac{6}{7} - 2\right| + \left|5×\frac{6}{7} - 4\right| + \left|7×\frac{6}{7} - 6\right| + \left|9×\frac{6}{7} - 8\right|$
$ = 2×\frac{6}{7} - 1 + 3×\frac{6}{7} - 2 + 5×\frac{6}{7} - 4 - 9×\frac{6}{7} + 8$
$ = \frac{6}{7}×(2 + 3 + 5 - 9) + 8 - 1 - 2 - 4 = \frac{6}{7} + 1 = \frac{13}{7}$