《2025年实验班提优训练七年级数学上册人教版》

变式1.4(2025·江苏徐州鼓楼区期中)如图,每个图形都由同样大小的小正方形按照一定的规律组成,每个小正方形的面积是1.根据图形与等式的关系解答下列问题:
(1)直接写出图(10)的算式;
(2)猜想并直接写出图(n)所反映的算式;
(3)根据(2)的结论计算:$1001+1002+1003+... +2023+2024$.

答案：
(1)直接写出图
(10)的算式:1+2+3+4+…+9+10=$\frac{10×11}{2}$.
(2)猜想并直接写出图(n)所反映的算式:1+2+3+4+…+n=$\frac{n(n+1)}{2}$.
(3)根据
(2)的结论计算:$1001+1002+1003+... +2023+2024$=(1+2+3+…+2023+2024)-(1+2+3+…+990+1000)=$\frac{2024×2025}{2}-\frac{1000×1001}{2}$=1548800.

2.(2025·山西大同期末)我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律:
$15×15= 1×2×100+25= 225$;
$25×25= 2×3×100+25= 625$;
$35×35= 3×4×100+25= 1225$;
…
请用含a(a为正整数)的式子表示上述的规律:(10a+5)(10a+5)=100a(a+1)+25.

答案： (10a+5)(10a+5)=100a(a+1)+25 [解析]依题意,把十位上的数字记a,
则(10a+5)×(10a+5)=100a(a+1)+25.

变式2.1(2025·河南驻马店期末)已知$1+\frac {1}{3}= \frac {4}{3}= \frac {2^{2}}{3},2+\frac {1}{4}= \frac {9}{4}= \frac {3^{2}}{4},3+\frac {1}{5}= \frac {16}{5}= \frac {4^{2}}{5},4+\frac {1}{6}= \frac {25}{6}= \frac {5^{2}}{6}$.设n为正整数,请用关于n的等式表示这个规律.
n+$\frac{1}{n+2}$=$\frac{(n+1)^2}{n+2}$

答案： n+$\frac{1}{n+2}$=$\frac{(n+1)^2}{n+2}$.

变式2.2观察下面的变形规律:
$\frac {1}{1×2}= 1-\frac {1}{2}$;
$\frac {1}{2×3}= \frac {1}{2}-\frac {1}{3}$;
$\frac {1}{3×4}= \frac {1}{3}-\frac {1}{4}$;
…
解答下面的问题:
(1)根据上述变化规律写出下面等号后面的式子:
$\frac {1}{4×5}=$$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$;$\frac {1}{2024×2025}=$$\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$.
若n为正整数,猜想$\frac {1}{n(n+1)}=$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
(2)计算:$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+... +\frac {1}{2024×2025}$.
$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+…+\frac {1}{2024×2025}$=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$=1-$\frac{1}{2025}$=$\frac{2024}{2025}$.

答案：
(1)$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$ $\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$ $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2024×2025}$=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$=1-$\frac{1}{2025}$=$\frac{2024}{2025}$.
归纳总结 本题考查的是有理数混合运算的应用、数字类规律探究;发现数字变化的特点,利用类比的方法解题是关键.