《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

4. (石室联中)如图,一次函数$y= -x+6的图象与反比例函数y= \frac {k}{x}(k≠0)$的图象在第一象限交于 A,B 两点,$AC⊥x$轴于点 C,O 为坐标原点,$AC= 5OC$.
(1)求反比例函数的表达式和点 B 的坐标;反比例函数的表达式为$y=\frac {5}{x}$，点 B 的坐标为$(5,1)$
(2)点 D 在 y 轴上,满足$\triangle ABD的面积和\triangle ABC$的面积相等,求点 D 的坐标.点 D 的坐标为$(0,1)$或$(0,11)$

答案： 解:
(1)设$OC=a$,则$AC=5OC=5a$,$\therefore C(a,0)$,$A(a,5a)$.$\because$一次函数$y=-x+6$的图象经过点 A,$\therefore 5a=-a+6$,解得$a=1$,$\therefore A(1,5)$.把点$A(1,5)$代入反比例函数$y=\frac {k}{x}(k≠0)$,得$k=1×5=5$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac {5}{x}$.由$\left\{\begin{array}{l} y=-x+6,\\ y=\frac {5}{x},\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=5\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} x=5,\\ y=1,\end{array}\right. $$\therefore B(5,1)$.
(2)$\because AC=5$,$\triangle ABD$的面积和$\triangle ABC$的面积相等,$\therefore$点 D 到直线 AB 的距离和点 C 到直线 AB 的距离相等,$\therefore$将直线 AB 向上或向下平移 5 个单位长度得到的直线与 y 轴的交点即为点 D.向上平移 5 个单位长度时,$y=-x+6+5$,令$x=0$,得$y=11$.向下平移 5 个单位长度时,$y=-x+6-5$,令$x=0$,得$y=1$.综上所述,点 D 的坐标为$(0,1)$或$(0,11)$.

5. (青羊区二诊)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线$l:y= -\frac {3}{4}x+3$与x 轴、y 轴分别交于点 A,B,与双曲线$y= \frac {k}{x}$交于C(6,m),D 两点,直线$x= t$分别与直线 l 和双曲线$y= \frac {k}{x}$交于点 M,N,连接 BN,CN.
(1)求k的值;-9
(2)点 M 在线段 AB 上(不与端点 A,B 重合),若$CM= CN$,求$\triangle BCN$的面积.18

答案： 解:
(1)把$x=6$代入$y=-\frac {3}{4}x+3$,得$y=-\frac {3}{2}$,$\therefore C(6,-\frac {3}{2})$,$\therefore k=6×(-\frac {3}{2})=-9$.
(2)当$x=0$时,$y=-\frac {3}{4}x+3=3$,$\therefore B(0,3)$.当$y=0$时,$-\frac {3}{4}x+3=0$,得$x=4$,$\therefore A(4,0)$.$\because$点 M 在线段 AB 上,$\therefore 0＜t＜4$.$\because M(t,-\frac {3}{4}t+3)$,$N(t,-\frac {9}{t})$,$\therefore MN$的中点为$(t,\frac {-\frac {3}{4}t+3-\frac {9}{t}}{2})$.$\because CM=CN$,$\therefore$点 C 在线段 MN 的中垂线上,$\therefore MN$的中点纵坐标与点 C 的纵坐标相等,$\therefore \frac {-\frac {3}{4}t+3-\frac {9}{t}}{2}=-\frac {3}{2}$,解得$t=2$或$t=6$(舍去),$\therefore N(2,-\frac {9}{2})$,$M(2,\frac {3}{2})$,$\therefore S_{\triangle BCN}=\frac {1}{2}MN\cdot (x_{C}-x_{B})=\frac {1}{2}×(\frac {3}{2}+\frac {9}{2})×6=18$.