《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

1. (高新区期末) 正方形的对称轴的条数是 (A)
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： A

2. (树德实验) 如图, 正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 是菱形 $AEFC$ 的一边, 则 $\angle FAB$ 等于 (C)

A. $135^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $22.5^{\circ}$
D. $30^{\circ}$

答案： C

3. (石室联中) 如图, 将正方形 $OABC$ 放在平面直角坐标系中, $O$ 是原点, 点 $A$ 的坐标为 $(1, \sqrt{3})$, 则点 $B$ 的坐标为 (A)

A. $(1 - \sqrt{3}, \sqrt{3} + 1)$
B. $(- \sqrt{3}, \sqrt{3} + 1)$
C. $(-1, \sqrt{3} + 1)$
D. $(-1, \sqrt{3})$

答案： A

4. (锦江区期末) 如图, 正方形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$, 以点 $O$ 为顶点的正方形 $OEGF$ 的两边 $OE$, $OF$ 分别交正方形 $ABCD$ 的两边 $AB$, $BC$ 于点 $M$, $N$, 记 $\triangle AOM$ 的面积为 $S_1$, $\triangle CON$ 的面积为 $S_2$. 若正方形 $ABCD$ 的边长 $AB = 10$, $S_1 = 16$, 则 $S_2 = $ (D)

A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

答案： D

5. (锦江区一诊) 如图, 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上取点 $E$, 使 $BE = BA$, 连接 $AE$, 过点 $E$ 作 $EF \perp AE$ 交 $BC$ 于点 $F$, 则 $\angle EFC$ 的大小为 ______$67.5^{\circ}$.

答案： $67.5^{\circ}$ [解析]
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$EF⊥AE$，
∴ $DA = BA = BC = DC$，$∠BAD = ∠AEF = ∠C = 90^{\circ}$，
∴ $∠DAE + ∠BAE = 90^{\circ}$，$∠BEF + ∠BEA = 90^{\circ}$，$∠ABD = ∠ADB = ∠CBD = ∠CDB = 45^{\circ}$．
∵ $BE = BA$，
∴ $DA = BE$，$∠BAE = ∠BEA = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 45^{\circ}) = 67.5^{\circ}$，
∴ $∠DAE = ∠BEF$．在 $\triangle DAE$ 和 $\triangle BEF$ 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ADE = ∠EBF,\\ DA = BE,\\ ∠DAE = ∠BEF,\end{array}\right.$
∴ $\triangle DAE ≌ \triangle BEF(ASA)$，
∴ $∠AED = ∠EFB$，
∴ $∠EFC = 180^{\circ} - ∠EFB = 180^{\circ} - ∠AED = ∠BEA = 67.5^{\circ}$．

6. (嘉祥) 如图 1, 在正方形 $ABCD$ 中, $AE \perp BF$, 两线段将正方形 $ABCD$ 分割成甲、乙、丙、丁四块, 经重新拼接恰能围成一个大正方形 $GHJK$ (如图 2). 若 $AB = 2\sqrt{5}$, $E$ 为 $BC$ 的中点, 则 $GH$ 的长是 ______.

答案：
5 [解析]如图，设 $AE⊥BF$ 于点 $L$，则 $∠ALB = 90^{\circ}$．
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$AB = 2\sqrt{5}$，$E$ 为 $BC$ 的中点，
∴ $BC = AB = 2\sqrt{5}$，$∠C = ∠ABE = 90^{\circ}$，
∴ $BE = CE = \frac{1}{2}BC = \sqrt{5}$，$∠CBF = ∠BAE = 90^{\circ} - ∠ABF$．在 $\triangle CBF$ 和 $\triangle BAE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CBF = ∠BAE,\\ BC = AB,\\ ∠C = ∠ABE,\end{array}\right.$
∴ $\triangle CBF ≌ \triangle BAE(ASA)$，
∴ $CF = BE = \sqrt{5}$．由题图 1、题图 2 可知，$MN = BE = \sqrt{5}$，$QM = CF = \sqrt{5}$，
∴ 四边形 $PQMN$ 是正方形，
∴ $S_{正方形GHIJK} = S_{正方形ABCD} + S_{正方形PQMN} = AB^{2} + MN^{2} = (2\sqrt{5})^{2} + (\sqrt{5})^{2} = 25$，
∴ $GH^{2} = 25$，
∴ $GH = 5$ 或 $GH = -5$（不符合题意，舍去），
∴ $GH$ 的长是 5．

7. (成华区一诊) 如图, 正方形 $ABCD$ 的边长为 5, 点 $E$ 在边 $CD$ 上, $DE = 2$, $\angle BAE$ 的平分线交 $BC$ 于点 $F$, 则 $CF$ 的长为 ______.

答案：
$7 - \sqrt{29}$ [解析]如图，延长 $CD$ 到点 $N$，使 $DN = BF$，连接 $AN$，则 $\triangle ABF ≌ \triangle ADN(SAS)$，
∴ $∠BAF = ∠DAN$，
∴ $∠NAF = ∠BAD = 90^{\circ}$，
∴ $∠EAN = 90^{\circ} - ∠FAE = 90^{\circ} - ∠BAF = 90^{\circ} - ∠DAN = ∠N$，
∴ $AE = EN = \sqrt{AD^{2} + DE^{2}} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$，
∴ $EN = ED + DN = DE + BF = \sqrt{29}$，
∴ $BF = \sqrt{29} - 2$，
∴ $CF = BC - BF = 5 - \sqrt{29} + 2 = 7 - \sqrt{29}$．