《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

8. (成华区一诊) 如图, 在正方形 $ABCD$ 中, $AB = 6$, 点 $E$ 在对角线 $BD$ 上, $DE = 2\sqrt{2}$, 连接 $CE$, 过点 $E$ 作 $EF \perp CE$, 交线段 $AB$ 于点 $F$.
(1) 求证: $CE = EF$;
(2) 求 $FB$ 的长;

(3) 连接 $FC$ 交 $BD$ 于点 $G$, 求 $BG$ 的长.

答案：

(1) 证明：如图，过点 $E$ 分别作 $EM⊥AB$ 于点 $M$，$EH⊥BC$ 于点 $H$．
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $∠EBM = ∠HBE = 45^{\circ}$，
∴ $EM = EH$．
∵ $∠EMB = ∠MBH = ∠BHE = 90^{\circ}$，
∴ $∠MEH = 90^{\circ}$．
∵ $EF⊥CE$，
∴ $∠FEC = 90^{\circ}$，
∴ $∠MEF = ∠CEH$，
∴ $\triangle EMF ≌ \triangle EHC(ASA)$，
∴ $CE = EF$．
(2) 解：
∵ $AB = 6$，
∴ $BD = 6\sqrt{2}$．又
∵ $DE = 2\sqrt{2}$，
∴ $BE = BD - DE = 4\sqrt{2}$，
∴ $BM = BH = 4$，
∴ $AM = CH = 2$．
∵ $\triangle EMF ≌ \triangle EHC$，
∴ $FM = CH = 2$，
∴ $BF = AB - AM - MF = 6 - 2 - 2 = 2$．
(3) 如图，过点 $G$ 作 $GN⊥BC$ 于点 $N$，
∴ $GN = BN$．设 $GN = BN = x$，
∴ $CN = 6 - x$．
∵ $GB$ 平分 $∠FBC$，
∴ $\frac{FG}{GC} = \frac{BF}{BC} = \frac{1}{3}$，
∴ $GC = \frac{3}{4}FC = \frac{3\sqrt{10}}{2}$．在 $Rt\triangle CGN$ 中，$GN^{2} + CN^{2} = GC^{2}$，即 $x^{2} + (6 - x)^{2} = (\frac{3\sqrt{10}}{2})^{2}$，解得 $x = \frac{9}{2}$（舍去）或 $x = \frac{3}{2}$，
∴ $BN = GN = \frac{3}{2}$，
∴ $BG = \sqrt{2}BN = \frac{3\sqrt{2}}{2}$．