《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

9. (西川) 如图, $M$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 上的一点, 连接 $AM$, $E$ 是线段 $AM$ 上一点, $\angle CDE$ 的平分线交 $AM$ 的延长线于点 $F$.
(1) 如图 1, 若 $E$ 为线段 $AM$ 的中点, $BM:CM = 1:2$, $BE = \sqrt{10}$, 求 $AB$ 的长;
(2) 如图 2, 若 $DA = DE$, 求证: $BF + DF = \sqrt{2}AF$.

答案：

(1) 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $∠ABC = 90^{\circ}$，$AB = BC$．设 $BM = x$，则 $CM = 2x$，
∴ $AB = BC = 3x$，
∴ $AM = \sqrt{AB^{2} + BM^{2}} = \sqrt{10}x$．在 $Rt\triangle ABM$ 中，
∵ $E$ 为斜边 $AM$ 的中点，
∴ $AM = 2BE = 2\sqrt{10} = \sqrt{10}x$，
∴ $x = 2$，
∴ $AB = 3x = 6$．
(2) 证明：如图，过点 $A$ 作 $AH⊥AF$ 交 $FD$ 的延长线于点 $H$，过点 $D$ 作 $DP⊥AF$ 于点 $P$．
∵ $DF$ 平分 $∠CDE$，
∴ $∠1 = ∠2$．
∵ $DE = DA$，$DP⊥AF$，
∴ $∠3 = ∠4$．又
∵ $∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 90^{\circ}$，
∴ $∠2 + ∠3 = 45^{\circ}$，
∴ $∠DFP = 45^{\circ} = ∠FDP = ∠H$，
∴ $AH = AF$．
∵ $∠BAD = ∠HAF = 90^{\circ}$，
∴ $∠BAF = ∠DAH$．又
∵ $AB = AD$，
∴ $\triangle ABF ≌ \triangle ADH(SAS)$，
∴ $AF = AH$，$BF = DH$，
∴ $HF = \sqrt{2}AF$，
∴ $BF + DF = DH + DF = \sqrt{2}AF$．