《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

7. (温江区一诊)在平行四边形 ABCD 中,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,交 DC 的延长线于点 F,以 EC,CF 为邻边作平行四边形 ECFG.
(1)如图 1,若∠ABC= 90°,求证:平行四边形 ECFG 是正方形;
(2)如图 2,若∠ABC= 120°,连接 BG,CG,DG,求证:△DGC≌△BGE;
(3)如图 3,若∠ABC= 90°,AB= 6,AD= 8,M 是 EF 的中点,求 DM 的长.

答案：

(1) 证明: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形, $ \angle ABC = 90^{\circ} $, $ \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形,
$ \therefore \angle BAD = \angle BCD = \angle BCF = 90^{\circ} $.
$ \because AF $ 平分 $ \angle BAD $, $ \therefore \angle BAF = \angle DAF = 45^{\circ} $,
$ \therefore \angle AFD = 45^{\circ} $.
$ \because \angle ECF = 90^{\circ} $, $ \therefore \angle CEF = \angle CFE = 45^{\circ} $,
$ \therefore CE = CF $.
又 $ \because $ 四边形 $ ECFG $ 是平行四边形,
$ \therefore $ 四边形 $ ECFG $ 为菱形.
又 $ \because \angle ECF = 90^{\circ} $, $ \therefore $ 四边形 $ ECFG $ 是正方形.
(2) 证明: $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形,
$ \therefore AB // DC $, $ AB = DC $, $ AD // BC $.
$ \because \angle ABC = 120^{\circ} $, $ \therefore \angle BCD = 60^{\circ} $, $ \angle BCF = 120^{\circ} $.
同理易证四边形 $ CEGF $ 是菱形, $ \therefore CE = GE $, $ \angle BCG = \frac{1}{2}\angle BCF = 60^{\circ} $,
$ \therefore CG = GE = CE $, $ \angle DCG = 120^{\circ} $.
$ \because EG // DF $, $ \therefore \angle BEG = \angle BCF = 120^{\circ} = \angle DCG $.
$ \because AE $ 是 $ \angle BAD $ 的平分线, $ \therefore \angle DAE = \angle BAE $.
$ \because AD // BC $, $ \therefore \angle DAE = \angle AEB $,
$ \therefore \angle BAE = \angle AEB $,
$ \therefore AB = BE $, $ \therefore BE = CD $. 在 $ \triangle DGC $ 和 $ \triangle BGE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { CD = EB }, \\ { \angle DCG = \angle BEG }, \\ { GC = GE }, \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle DGC \cong \triangle BGE ( SAS ) $.
(3) 解:(方法一)如图 1, 连接 $ BM $, $ MC $, $ BD $.
$ \because \angle ABC = 90^{\circ} $, 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形,
$ \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形.
又由
(1)可知四边形 $ ECFG $ 为菱形, $ \angle ECF = 90^{\circ} $, $ \therefore $ 四边形 $ ECFG $ 为正方形.
$ \because \angle BAF = \angle DAF = \angle AEB $, $ \therefore BE = AB = DC $.
$ \because M $ 为 $ EF $ 的中点, $ \therefore \angle CEM = \angle ECM = 45^{\circ} $,
$ \therefore \angle BEM = \angle DCM = 135^{\circ} $, $ EM = CM $.
在 $ \triangle BME $ 和 $ \triangle DMC $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { BE = DC }, \\ { \angle BEM = \angle DCM }, \\ { EM = CM }, \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle BME \cong \triangle DMC ( SAS ) $, $ \therefore MB = MD $, $ \angle DMC = \angle BME $.
$ \because \angle BMD = \angle BME + \angle EMD = \angle DMC + \angle EMD = 90^{\circ} $, $ \therefore \triangle BMD $ 是等腰直角三角形.
$ \because AB = 6 $, $ AD = 8 $, $ \therefore BD = \sqrt { A B ^ { 2 } + A D ^ { 2 } } = \sqrt { 6 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } } = 10 $, $ \therefore DM = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } B D = 5 \sqrt { 2 } $.
(方法二)如图 2, 过点 $ M $ 作 $ MH \perp DF $ 于点 $ H $.
$ \because \angle ABC = 90^{\circ} $, 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形,
$ \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形.
又由
(1)可知四边形 $ ECFG $ 为菱形, $ \angle ECF = 90^{\circ} $,
$ \therefore $ 四边形 $ ECFG $ 为正方形, $ \therefore \angle CEF = 45^{\circ} $,
$ \therefore \angle AEB = \angle CEF = 45^{\circ} $,
$ \therefore BE = AB = 6 $, $ \therefore CE = CF = BC - BE = 8 - 6 = 2 $.
$ \because MH // CE $, $ EM = FM $, $ \therefore CH = FH = \frac { 1 } { 2 } C F = 1 $, $ \therefore M H = \frac { 1 } { 2 } C E = 1 $,
$ \therefore D H = D C + C H = 7 $,
$ \therefore D M = \sqrt { M H ^ { 2 } + D H ^ { 2 } } = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 7 ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 2 } $.